《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

2. (天府新区期末)如图,已知直线$l_{1}:y= -x+2与直线l_{2}:y= 2x+8相交于点F$,$l_{1}$,$l_{2}分别交x轴于点E$,$G$,长方形$ABCD的顶点C$,$D分别在直线l_{1}$,$l_{2}$上,顶点$A$,$B都在x$轴上,且点$B与点G$重合。
(1)求点$F的坐标和∠GEF$的度数；
(2)求长方形$ABCD的边DC与BC$的长；
(3)若长方形$ABCD$从原地出发,沿$x轴正方向以每秒1$个单位长度的速度平移,设移动时间为$t(0\leqslant t\leqslant6)$秒,长方形$ABCD与\triangle GEF重叠部分的面积为S$,求$S关于t$的函数关系式,并写出相应的$t$的取值范围。

答案：
解：
(1)由已知易得F(−2,4)，E(2,0)。如图，过点F作FM⊥x轴，
∴FM = 4，ME = 4，
∴∠GEF = 45°。

(2)由已知易得G(−4,0)，
∴C(−4,6)，D(−1,6)，
∴DC = 3，BC = 6。
(3)由已知可得$S_{\triangle GFE}=\frac{1}{2}GE\cdot MF = 12$。若长方形ABCD从原地出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，当t秒时，移动的距离是1×t = t，则点B的坐标为(−4 + t,0)，点A的坐标为(−1 + t,0)。①在运动到t秒，若BC边与$l_{2}$相交且设交点为N，AD与$l_{1}$相交且设交点为K，则−4≤−4 + t≤−2，即0≤t≤2，点N的坐标为(−4 + t,2t)，点K的坐标为(−1 + t,3 - t)，此时$S = S_{\triangle GFE}-S_{\triangle GNB}-S_{\triangle AEK}=12-\frac{1}{2}t\cdot2t-\frac{1}{2}(3 - t)\cdot(3 - t)=-\frac{3}{2}t^{2}+3t+\frac{15}{2}$。②在运动到t秒，若BC边与$l_{1}$相交且设交点为N，AD与$l_{1}$相交且设交点为K，则−2＜−4 + t且−1 + t≤2，即2＜t≤3，点N的坐标为(−4 + t,6 - t)，点K的坐标为(−1 + t,3 - t)，此时$S = S_{梯形BNKA}=\frac{1}{2}[(6 - t)+(3 - t)]\cdot3=-3t+\frac{27}{2}$。③在运动到t秒，若BC边与$l_{1}$相交且设交点为N，AD与$l_{1}$不相交，则−4 + t≤2且−1 + t＞2，即3＜t≤6，点N的坐标为(−4 + t,6 - t)，此时$S = S_{\triangle BNE}=\frac{1}{2}[2-(-4 + t)]\cdot(6 - t)=\frac{1}{2}t^{2}-6t + 18$。综上所述，S关于t的函数关系式为$S=\begin{cases}-\frac{3}{2}t^{2}+3t+\frac{15}{2}(0\leqslant t\leqslant2)\\-3t+\frac{27}{2}(2\lt t\leqslant3)\frac{1}{2}t^{2}-6t + 18(3\lt t\leqslant6)\end{cases}$。

1. (七中八一)在平面直角坐标系$xOy$中,已知点$A(-\frac{5}{2},0)$,$B(\frac{5}{2},0)$,$C(-\frac{5}{2},6)$。给出如下定义：若将点$P(x_{0},y_{0})先向上平移x_{0}$个单位长度(若$x_{0}＜0$,即向下平移$|x_{0}|$个单位长度),再向右平移$3个单位长度后的对应点Q在\triangle ABC$的内部或边上,则称点$P为\triangle ABC$的“平移关联点”。若直线$y= -x+3上的一点P是\triangle ABC$的“平移关联点”,且$\triangle ABQ$是等腰三角形,则点$P$的坐标为______。

答案：
$(-\frac{9}{2},\frac{15}{2})$ 或 $(-3,6)$ [解析]
∵$A(-\frac{5}{2},0)$，$B(\frac{5}{2},0)$，$C(-\frac{5}{2},6)$，
∴AB = 5，OA = OB。设点$P(m,-m + 3)$。
∵将点P先向上平移m个单位长度，再向右平移3个单位长度后的对应点为点Q，
∴点Q的坐标为$(m + 3,3)$，
∴点Q在直线y = 3上。当△ABQ是等腰三角形时，分两种情况：①当$AQ_{1}=BQ_{1}$时，如图，过点$Q_{1}$作$Q_{1}E\perp AB$于点E，则$EA = EB$。
∵OA = OB，
∴O，E两点重合，
∴$Q_{1}(0,3)$，
∴$m + 3 = 0$，
∴$m = -3$，
∴$P(-3,6)$。②当$BQ_{2}=AB = 5$时，如图，过点$Q_{2}$作$Q_{2}D\perp AB$于点D，则$Q_{2}D = 3$，
∴$BD=\sqrt{B^{2}Q_{2}-Q_{2}D^{2}} = 4$，
∴$OD = BD - OB=\frac{3}{2}$，
∴$Q_{2}(-\frac{3}{2},3)$，
∴$m + 3=-\frac{3}{2}$，
∴$m=-\frac{9}{2}$，
∴$P(-\frac{9}{2},\frac{15}{2})$。综上所述，点P的坐标为$(-3,6)$ 或 $(-\frac{9}{2},\frac{15}{2})$。