《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

1. (青羊区期末)如图,两个较大正方形的面积分别为225,289,则字母A所代表的正方形的面积为 (D)
A.4
B.8
C.16
D.64

答案： 解：由题意知，两个较大正方形的边长的平方分别为225和289。根据勾股定理，字母A所代表的正方形的面积等于289 - 225 = 64。
答案：D

2. (嘉祥)如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的较长直角边长为a,较短直角边长为b.若ab= 8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为 (D)

A.9
B.6
C.4
D.3

答案： 解：
∵直角三角形较长直角边为 $a$，较短直角边为 $b$，
∴直角三角形斜边长为大正方形边长，设为 $c$，
由勾股定理得 $a^2 + b^2 = c^2$。
∵大正方形面积为25，
∴ $c^2 = 25$，即 $a^2 + b^2 = 25$。
∵四个直角三角形面积和为 $4 × \frac{1}{2}ab = 2ab$，
且 $ab = 8$，
∴四个直角三角形面积和为 $2 × 8 = 16$。
∵大正方形面积 = 四个直角三角形面积 + 小正方形面积，
∴小正方形面积 = $25 - 16 = 9$，
∴小正方形边长为 $\sqrt{9} = 3$。
答案：D

3. (七中八一)如图,分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆,图中的字母是它们的面积,其中$S_{2}= 6π$,$S_{3}= 10π$,则$S_{1}= $ (B)
A.$8π$
B.$4π$
C.$16π$
D.4

答案： 解：设直角三角形的两条直角边分别为$a$、$b$，斜边为$c$。
因为半圆的面积公式为$S = \frac{1}{2}\pi r^2$（$r$为半径），且直径为三角形的边，所以半径为边长的一半。
由图可知，$S_1$是以直角边$a$为直径的半圆面积，则$S_1=\frac{1}{2}\pi(\frac{a}{2})^2=\frac{\pi a^2}{8}$；
$S_2$是以直角边$b$为直径的半圆面积，则$S_2=\frac{1}{2}\pi(\frac{b}{2})^2=\frac{\pi b^2}{8}=6\pi$，可得$\frac{b^2}{8}=6$，$b^2 = 48$；
$S_3$是以斜边$c$为直径的半圆面积，则$S_3=\frac{1}{2}\pi(\frac{c}{2})^2=\frac{\pi c^2}{8}=10\pi$，可得$\frac{c^2}{8}=10$，$c^2 = 80$。
根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$，所以$a^2 = c^2 - b^2 = 80 - 48 = 32$。
则$S_1=\frac{\pi a^2}{8}=\frac{\pi×32}{8}=4\pi$。
答案：B

4. (成外)在$Rt△ABC$中,已知$∠C= 90^{\circ }$,若$BC+AC= 14cm$,$AB= 10cm$,则$Rt△ABC$的面积是 (A)
A.$24cm^{2}$
B.$36cm^{2}$
C.$48cm^{2}$
D.$60cm^{2}$

答案： 解：设 $ AC = x \, cm $，则 $ BC = (14 - x) \, cm $。
在 $ Rt\triangle ABC $ 中，$ \angle C = 90^\circ $，由勾股定理得：
$ AC^2 + BC^2 = AB^2 $，即 $ x^2 + (14 - x)^2 = 10^2 $。
展开得：$ x^2 + 196 - 28x + x^2 = 100 $，
化简得：$ 2x^2 - 28x + 96 = 0 $，即 $ x^2 - 14x + 48 = 0 $。
解得：$ x_1 = 6 $，$ x_2 = 8 $。
则 $ AC = 6 \, cm $，$ BC = 8 \, cm $ 或 $ AC = 8 \, cm $，$ BC = 6 \, cm $。
面积 $ S = \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24 \, cm^2 $。
答案：A

5. (双流区期末)如图,在$Rt△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,以AC,BC为边分别作正方形ACDE和正方形BCGF,若图中阴影部分的面积为16,$S_{△ABC}= 5$,则BD的长为______6.

答案： 解：
∵在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90^{\circ}$，四边形ACDE和四边形BCGF是正方形
∴$AC=CD$，$BC=CG$，阴影部分面积为正方形ACDE与正方形BCGF的面积之和，即$AC^{2}+BC^{2}=16$
∵$S_{△ABC}=5$
∴$\frac{1}{2}AC\cdot BC=5$，则$AC\cdot BC=10$
∵$BD=BC+CD=BC+AC$
∴$BD^{2}=(AC+BC)^{2}=AC^{2}+BC^{2}+2AC\cdot BC=16+2×10=36$
∴$BD=\sqrt{36}=6$
答案：6

6. (天府新区期末)如图1,用四个全等的直角三角形围成一个大正方形,其中间是一个小正方形,这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.已知大正方形的边长为$\sqrt {13}$,小正方形的边长为1,连接四条线段得到如图2所示的新图案,则阴影部分的面积为______.

答案：
5　[解析]如图，由题意，得$AB=\sqrt{13}$，$CD = 1$，$AC = BD$。设$AC = BD = x$，则$BC = x + 1$。在$Rt△ABC$中，由勾股定理，得$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，即$x^{2}+(x + 1)^{2}=13$，$\therefore 2x^{2}+2x - 12 = 0$，$\therefore x^{2}+x - 6 = 0$，$\therefore (x - 2)(x + 3)=0$，$\therefore x = 2$或$x = - 3$(负值舍去)，$\therefore$阴影部分的面积$=4×\frac{1}{2}×2×1 + 1^{2}=5$。

7. (七中育才)“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创建的,我国古代数学家运用“出入相补”原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就.如图,是刘徽用“出入相补法”证明勾股定理的“青朱出入图”,其中四边形ABCD、四边形BEFG、四边形AHIG均为正方形.若AD= 5,EI= 7,则正方形AHIG的面积为______.

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答案： 解：
∵四边形ABCD、四边形BEFG、四边形AHIG均为正方形，
∴AG=GI，BG=GF，∠ABG=∠F=90°，
∴Rt△ABG≌Rt△IFG（HL），
∴FI=AB=AD=5，
∵EI=7，
∴EF=GF=FI+EI=5+7=12，
在Rt△GIF中，IF²+GF²=GI²，
∴GI²=5²+12²=169，
∴正方形AHIG的面积为GI²=169。
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