《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

5. (成外)在平面直角坐标系中,点A的坐标为$(4,3)$,将线段OA绕点O顺时针旋转$90^{\circ }得到OA'$,则点$A'$的坐标为____(3,-4)。

答案： 解：过点A作AB⊥x轴于点B，过点A'作A'C⊥x轴于点C。
∵点A的坐标为(4,3)，
∴OB=4，AB=3。
∵线段OA绕点O顺时针旋转90°得到OA'，
∴OA=OA'，∠AOA'=90°，
∴∠AOB+∠A'OC=90°。
∵AB⊥x轴，A'C⊥x轴，
∴∠ABO=∠A'CO=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，
∴∠A=∠A'OC。
在△AOB和△OA'C中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠ABO=∠OCA'\\ ∠A=∠A'OC\\ OA=OA'\end{array}\right.$
∴△AOB≌△OA'C(AAS)，
∴OC=AB=3，A'C=OB=4。
∵点A'在第四象限，
∴点A'的坐标为(3,-4)。
答案：(3,-4)

6. (高新区期末)如图,将平面直角坐标系中的$△AOB$绕点O顺时针旋转$90^{\circ }得到△A'OB'$,已知$∠AOB= 60^{\circ }$,$∠B= 90^{\circ }$,$AB= \sqrt {3}$,则点$B'$的坐标是____$(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$。

答案： 解：在$Rt\triangle AOB$中，$\angle B=90^{\circ}$，$\angle AOB=60^{\circ}$，
$\therefore \angle OAB=30^{\circ}$，
设$OB=x$，则$OA=2x$，
由勾股定理得：$AB^{2}+OB^{2}=OA^{2}$，
即$(\sqrt{3})^{2}+x^{2}=(2x)^{2}$，
$3 + x^{2}=4x^{2}$，
$3x^{2}=3$，
$x^{2}=1$，
$x=1$（$x=-1$舍去），
$\therefore OB=1$，
$\because \angle AOB=60^{\circ}$，点$B$在第二象限，
$\therefore$点$B$的坐标为$(-OB\cos60^{\circ},OB\sin60^{\circ})$，
即$(-1×\frac{1}{2},1×\frac{\sqrt{3}}{2})=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$，
将点$B(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$绕点$O$顺时针旋转$90^{\circ}$得到点$B'$，
根据旋转性质，点$(a,b)$绕原点顺时针旋转$90^{\circ}$的坐标为$(b,-a)$，
$\therefore B'$的坐标为$(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$。
$(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$

7. (金牛区期末)已知点$A(0,1)$,$B(3,3)$,现将线段AB绕点A按逆时针方向旋转$90^{\circ }$,则点B旋转后对应的点的坐标为(-2,4)。

答案： 解：设点B旋转后对应的点为B'(x,y)。
因为线段AB绕点A逆时针旋转90°，所以向量AB旋转后得到向量AB'。
向量AB=(3-0,3-1)=(3,2)。
根据旋转性质，旋转90°后向量AB'=(-2,3)。
又因为A(0,1)，所以x=0+(-2)=-2，y=1+3=4。
故点B旋转后对应的点的坐标为(-2,4)。

1. (成华区期末)在平面直角坐标系中,已知点 $ A(0,2),B(1,3) $,则线段 $ AB $ 的长度是 (B)
A.1
B.$ \sqrt{2} $
C.$ \sqrt{3} $
D.2

答案： 解：已知点 $ A(0,2) $，$ B(1,3) $。
根据两点间距离公式：$ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $，其中 $ x_1 = 0 $，$ y_1 = 2 $，$ x_2 = 1 $，$ y_2 = 3 $。
代入得：$ AB = \sqrt{(1 - 0)^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} $。
答案：B

2. (高新区期末)在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,点 $ A $ 的坐标是 $ (2,3) $,若 $ AB// x $ 轴,且 $ AB = 4 $,则点 $ B $ 的坐标是$(6,3)$或$(-2,3)$。

答案： 解：因为点$A$的坐标是$(2,3)$，且$AB// x$轴，
所以点$B$的纵坐标与点$A$的纵坐标相同，为$3$。
设点$B$的坐标为$(x,3)$，
因为$AB = 4$，
所以$\vert x - 2\vert=4$，
即$x - 2 = 4$或$x - 2=-4$，
解得$x = 6$或$x=-2$。
则点$B$的坐标是$(6,3)$或$(-2,3)$。
答案：$(6,3)$或$(-2,3)$

3. (实外)阅读下列一段文字,然后回答问题。
【材料阅读】已知平面直角坐标系内的两点 $ M(x_{1},y_{1}),N(x_{2},y_{2}) $,则这两点间的距离可用下列公式计算：$ MN= \sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}} $。
例如：已知点 $ P(3,1),Q(1,-2) $,则这两点间的距离 $ PQ= \sqrt{(3 - 1)^{2}+(1 + 2)^{2}}= \sqrt{13} $。
【直接应用】
(1)已知点 $ A(2,-3),B(-4,5) $,试求 $ A,B $ 两点间的距离；
(2)已知 $ \triangle ABC $ 的顶点坐标分别为 $ A(0,4),B(-1,2),C(4,2) $,你能判定 $ \triangle ABC $ 的形状吗？请说明理由。

答案：
(1)解：$AB=\sqrt{(2 - (-4))^{2}+(-3 - 5)^{2}}=\sqrt{(6)^{2}+(-8)^{2}}=\sqrt{36 + 64}=\sqrt{100}=10$
(2)解：$\because A(0,4)$，$B(-1,2)$，$C(4,2)$
$\therefore AB=\sqrt{(0 - (-1))^{2}+(4 - 2)^{2}}=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{1 + 4}=\sqrt{5}$
$AC=\sqrt{(0 - 4)^{2}+(4 - 2)^{2}}=\sqrt{(-4)^{2}+2^{2}}=\sqrt{16 + 4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
$BC=\sqrt{(-1 - 4)^{2}+(2 - 2)^{2}}=\sqrt{(-5)^{2}+0^{2}}=\sqrt{25}=5$
$\because AB^{2}+AC^{2}=(\sqrt{5})^{2}+(2\sqrt{5})^{2}=5 + 20=25$，$BC^{2}=5^{2}=25$
$\therefore AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$
$\therefore \triangle ABC$为直角三角形