《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

1. (嘉祥)等式$\sqrt {(b-a)^{2}x}= (b-a)\sqrt {x}$成立的条件是 (C)
A.$a\geqslant b,x\geqslant 0$
B.$a\geqslant b,x\leqslant 0$
C.$a\leqslant b,x\geqslant 0$
D.$a\leqslant b,x\leqslant 0$

答案： 解：要使等式$\sqrt{(b - a)^2x}=(b - a)\sqrt{x}$成立，需满足：
1. 根号下的数非负：$x\geq0$；
2. 等式右边$(b - a)\sqrt{x}$为非负，且$\sqrt{(b - a)^2x}=|b - a|\sqrt{x}$，所以$|b - a|=b - a$，即$b - a\geq0$，则$a\leq b$。
综上，成立条件是$a\leq b$且$x\geq0$。
答案：C

2. (成外)如果$b＜0$,那么二次根式$\sqrt {\frac {b}{a}}$化简为 (B)

A.$\frac {\sqrt {ab}}{a}$
B.$-\frac {\sqrt {ab}}{a}$
C.$\frac {\sqrt {-ab}}{a}$
D.$-\frac {\sqrt {-ab}}{a}$

答案： 解：因为二次根式$\sqrt{\frac{b}{a}}$有意义，所以$\frac{b}{a} \geq 0$。又因为$b ＜ 0$，所以$a ＜ 0$。
$\begin{aligned}\sqrt{\frac{b}{a}}&=\sqrt{\frac{ab}{a^2}}\\&=\frac{\sqrt{ab}}{\vert a \vert}\\&=\frac{\sqrt{ab}}{-a}\\&=-\frac{\sqrt{ab}}{a}\end{aligned}$
答案：B

3. (嘉祥)2,5,m 是某三角形三边的长,则$\sqrt {(m-3)^{2}}+\sqrt {(m-7)^{2}}$等于 (D)
A.$2m-10$
B.$10-2m$
C.10
D.4

答案： 解：根据三角形三边关系，得
$5 - 2 ＜ m ＜ 5 + 2$，即$3 ＜ m ＜ 7$。
$\sqrt{(m - 3)^2} + \sqrt{(m - 7)^2} = |m - 3| + |m - 7|$
因为$3 ＜ m ＜ 7$，所以$m - 3 ＞ 0$，$m - 7 ＜ 0$，
则原式$= (m - 3) + (7 - m) = 4$。
答案：D

4. (高新区期末)实数 a,b,c 在数轴上的对应点的位置如图所示,化简下列代数式：$\sqrt {a^{2}}-\sqrt {(c-a+b)^{2}}+|b+c|-\sqrt [3]{b^{3}}= $$-b$.

答案： 由数轴可知：$a ＜ b ＜ 0 ＜ c$，且$|c| ＞ |b|$，$|c| ＞ |a|$。
$\sqrt{a^2} = |a| = -a$
$c - a + b$：因为$a ＜ 0$，所以$-a ＞ 0$，$b ＜ 0$，$c ＞ 0$，且$|c| ＞ |b|$，$|c| ＞ |a|$，所以$c - a + b ＞ 0$，则$\sqrt{(c - a + b)^2} = c - a + b$
$|b + c|$：因为$|c| ＞ |b|$，$b ＜ 0$，$c ＞ 0$，所以$b + c ＞ 0$，则$|b + c| = b + c$
$\sqrt[3]{b^3} = b$
原式$= -a - (c - a + b) + (b + c) - b$
$= -a - c + a - b + b + c - b$
$= -b$
$-b$

5. (七中育才)若整数 m 满足条件$\sqrt {m^{2}}= m且m＜\sqrt {5}-1$,则 m 的值是______0 或 1.

答案： 解：因为$\sqrt{m^2} = m$，所以$m \geq 0$。
又因为$m ＜ \sqrt{5} - 1$，且$\sqrt{5} \approx 2.236$，所以$\sqrt{5} - 1 \approx 1.236$。
因为$m$为整数且$0 \leq m ＜ 1.236$，所以$m = 0$或$m = 1$。
答案：0 或 1

6. (金牛区期末)已知$0\leqslant x\leqslant 3$,化简：$\sqrt {x^{2}}-\sqrt {x^{2}-6x+9}= $$2x - 3$.

答案： 解：$\sqrt{x^2} - \sqrt{x^2 - 6x + 9} = |x| - |x - 3|$
∵ $0 \leq x \leq 3$
∴ $|x| = x$，$|x - 3| = 3 - x$
∴ 原式 $= x - (3 - x) = 2x - 3$
$2x - 3$

7. (成外)已知实数 a,b 在数轴上的对应点如图所示,化简：$\sqrt {a^{2}}+|a+b|+|\sqrt {2}-a|-\sqrt {(b-\sqrt {2})^{2}}= $-3a.

答案： 由数轴可知：$a＜-\sqrt{2}＜b＜0$，且$|a|＞|b|$，
$\therefore a＜0$，$a+b＜0$，$\sqrt{2}-a＞0$，$b-\sqrt{2}＜0$，
$\sqrt{a^{2}}+|a+b|+|\sqrt{2}-a|-\sqrt{(b-\sqrt{2})^{2}}$
$=-a+(-a-b)+(\sqrt{2}-a)-[-(b-\sqrt{2})]$
$=-a - a - b + \sqrt{2} - a + b - \sqrt{2}$
$=-3a$
故答案为：$-3a$

8. (棕北)化简：$-\sqrt {-a}+\sqrt {-a^{3}}-a\sqrt {-\frac {1}{a}}= $$-a\sqrt{-a}$.

答案： 解：要使原式有意义，则$-a\geq0$，$-a^3\geq0$，$-\frac{1}{a}\geq0$，解得$a＜0$。
$-\sqrt{-a}+\sqrt{-a^3}-a\sqrt{-\frac{1}{a}}$
$=-\sqrt{-a}+\sqrt{-a\cdot a^2}-a\sqrt{-\frac{a}{a^2}}$
$=-\sqrt{-a}+\vert a\vert\sqrt{-a}-a\cdot\frac{\sqrt{-a}}{\vert a\vert}$
因为$a＜0$，所以$\vert a\vert=-a$，则：
$=-\sqrt{-a}+(-a)\sqrt{-a}-a\cdot\frac{\sqrt{-a}}{-a}$
$=-\sqrt{-a}-a\sqrt{-a}+\sqrt{-a}$
$=-a\sqrt{-a}$
故答案为：$-a\sqrt{-a}$

9. (嘉祥)某同学在解答题目“化简并求值：$\frac {1}{a}+\sqrt {\frac {1}{a^{2}}+a^{2}-2}$,其中$a= \frac {1}{5}$.”时,解答过程是：$\frac {1}{a}+\sqrt {\frac {1}{a^{2}}+a^{2}-2}= \frac {1}{a}+\sqrt {(a-\frac {1}{a})^{2}}= \frac {1}{a}+a-\frac {1}{a}= \frac {1}{5}$.
(1)请判断他的解答是否正确；如果不正确,请写出正确的解答过程.
(2)设$S= \sqrt {1+\frac {1}{1^{2}}+\frac {1}{2^{2}}}+\sqrt {1+\frac {1}{2^{2}}+\frac {1}{3^{2}}}+\sqrt {1+\frac {1}{3^{2}}+\frac {1}{4^{2}}}+... +\sqrt {1+\frac {1}{n^{2}}+\frac {1}{(n+1)^{2}}}$(n 为正整数),考察所求式子的结构特征：
①先化简通项公式$\sqrt {1+\frac {1}{n^{2}}+\frac {1}{(n+1)^{2}}}$；
②求出与 S 最接近的整数是多少.

答案： 解:
(1)错误. 正确的解答过程如下: 原式$=\frac{1}{a}+\sqrt{(a - \frac{1}{a})^2}=\frac{1}{a}+|a - \frac{1}{a}|$. 当$a = \frac{1}{5}$时, 原式$=\frac{1}{a}+\frac{1}{a}-a=\frac{2}{a}-a = 10 - \frac{1}{5}=\frac{49}{5}$.
(2)①原式$=\sqrt{\frac{n^2(n + 1)^2 + n^2 + (n + 1)^2}{n^2(n + 1)^2}}$
$=\sqrt{\frac{(n^2 + n)^2 + 2n^2 + 2n + 1}{n^2(n + 1)^2}}$
$=\sqrt{\frac{(n^2 + n)^2 + 2(n^2 + n) + 1}{n^2(n + 1)^2}}$
$=\sqrt{\frac{(n^2 + n + 1)^2}{n^2(n + 1)^2}}$
$=\frac{n^2 + n + 1}{n(n + 1)}$
$=1 + \frac{1}{n(n + 1)}$.
②$S = 1 + \frac{1}{1×2} + 1 + \frac{1}{2×3} + \cdots + 1 + \frac{1}{n(n + 1)} = n + 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = n + 1 - \frac{1}{n + 1}$, $\therefore$ 当$n = 1$时, 与$S$最接近的整数为 1 或 2; 当$n ＞ 1$时, 与$S$最接近的整数为$n + 1$.