《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

1. (金牛区期末)如图,点P的坐标为$(2,0)$,点B在直线$y= x+m$上运动,当线段PB最短时,PB的长度是____。

答案：
$\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}m$ [解析]当线段PB最短时,PB⊥CD,如图所示.设直线BP的解析式为y=-x+n。
∵点P(2,0)在直线BP上,
∴直线BP的解析式为y=-x+2。联立y=x+m和y=-x+2,解得x=$\frac{2 - m}{2}$,y=$\frac{m + 2}{2}$。
∴B($\frac{2 - m}{2}$,$\frac{m + 2}{2}$),
∴BP=$\sqrt{(\frac{2 - m}{2}-2)^2+(\frac{m + 2}{2})^2}=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}m$。

2. (锦江区期末)如图,在平面直角坐标系中,$A(8,0)$,$B(0,16)$,P是线段AB上的一个动点,则OP取得最小值时,点A关于OP的对称点的坐标是____。

答案：
$(\frac{24}{5},\frac{32}{5})$ [解析]
∵A(8,0),B(0,16),
∴OA = 8,OB = 16,
∴AB = $\sqrt{8^2 + 16^2}=8\sqrt{5}$。如图，当OP⊥AB时，OP的值最小，
∴$\frac{1}{2}OA\cdot OB=\frac{1}{2}AB\cdot OP$，
∴$OP=\frac{OA\cdot OB}{AB}=\frac{8×16}{8\sqrt{5}}=\frac{16\sqrt{5}}{5}$。设直线AB的表达式为y = kx + 16，把点A(8,0)代入，得8k + 16 = 0，解得k = -2，
∴直线AB的表达式为y = -2x + 16。设点P的坐标为(m,-2m + 16)，
∴$m^2+(-2m + 16)^2=(\frac{16\sqrt{5}}{5})^2$，解得$m_1=m_2=\frac{32}{5}$，
∴点P的坐标为$(\frac{32}{5},\frac{16}{5})$。设点A关于OP的对称点为A'，
∵OP⊥AB，
∴点A'在直线AB上，且P为AA'的中点，
∴根据中点坐标公式可得，点A'的坐标为$(\frac{24}{5},\frac{32}{5})$。

3. (青羊区期末)如图,点P在第一象限,$\triangle ABP$是边长为2的等边三角形,当点A在x轴的正半轴上运动时,点B随之在y轴的正半轴上运动,运动过程中,点P到原点的最大距离是____；若将$\triangle ABP$的边PA的长度改为$2\sqrt{2}$,另两边的长度不变,则点P到原点的最大距离变为____。

答案：
$\sqrt{3}+1$ $\sqrt{5}+1$ [解析]如图，取AB的中点M，连接OM，PM。在Rt△ABO中，$OM=\frac{AB}{2}=1$。在等边△ABP中，$PM=\sqrt{3}$。
∵无论△ABP如何运动，OM和PM的大小不变，
∴当OM，PM在同一直线上时，点P距点O最远，此时$OP = 1+\sqrt{3}$。将△ABP的边PA的长改为$2\sqrt{2}$，另两边的长度不变，且$2^2 + 2^2=(2\sqrt{2})^2$，
∴$\angle PBA = 90^{\circ}$，
∴由勾股定理，得$PM=\sqrt{1^2 + 2^2}=\sqrt{5}$，
∴此时$OP_{最大值}=OM + PM = 1+\sqrt{5}$。

4. (武侯区期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为$(0,6)$,B为x轴上一动点,以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC。若P为OA的中点,连接PC,则PC的长的最小值为____。

答案：
$\frac{9}{2}$ [解析]如图，以AP为边在y轴左侧作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于点F。
∵点A的坐标为(0,6)，
∴OA = 6。
∵P为OA的中点，
∴AP = 3。
∵△AEP是等边三角形，EF⊥AP，
∴$AF = PF=\frac{3}{2}$，AE = AP，$\angle EAP=\angle BAC = 60^{\circ}$，
∴$\angle BAE=\angle CAP$。在△ABE和△ACP中，$\begin{cases}AE = AP\\\angle BAE=\angle CAP\\AB = AC\end{cases}$，
∴△ABE≌△ACP(SAS)，
∴BE = PC，
∴当BE有最小值时，PC有最小值，即BE⊥x轴时，BE有最小值，
∴BE的最小值为$OF = OP + PF = 3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$，
∴PC的最小值为$\frac{9}{2}$。

5. (七中育才)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为$(0,2)$,B为x轴上的动点,以AB为边作等边三角形ABC,当OC最小时点C的坐标为____。

答案：
$(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})$ 或 $(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})$ [解析]当点B在原点左侧时，如图，以AB为边作等边三角形ABC，以AO为边作等边三角形AOD，连接OC，BD，
∴AB = AC，AD = AO，$\angle BAC=\angle DAO = 60^{\circ}$，
∴$\angle BAD=\angle CAO$。在△ABD和△ACO中，$\begin{cases}AB = AC\\\angle BAD=\angle CAO\\AD = AO\end{cases}$，
∴△ABD≌△ACO(SAS)，
∴BD = CO，
∴当BD取最小值时，OC有最小值。当BD⊥OB时，BD有最小值为DB'，此时点C的对应点为C'，过点C'作C'N⊥AO于点N。
∵AO = DO = 2，$\angle AOD = 60^{\circ}$，
∴$\angle DOB' = 30^{\circ}$，
∴$DB'=\frac{1}{2}DO = 1$，$OB'=\sqrt{3}DB'=\sqrt{3}$。
∵△AB'D≌△AC'O，
∴$\angle AOC'=\angle ADB' = 120^{\circ}$，$OC' = B'D = 1$，
∴$\angle C'ON = 60^{\circ}$，
∴$ON=\frac{1}{2}C'O=\frac{1}{2}$，$C'N=\sqrt{3}ON=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴点$C'(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})$。当点B在原点右侧时，同理可求点$C'(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})$。故点C的坐标为$(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})$ 或 $(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})$。