《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

2. (西川)如图,直线$y= -\sqrt{3}x+4\sqrt{3}与x轴交于点A$,与直线$y= \frac{\sqrt{3}}{3}x交于点P$。
(1)求点$P$的坐标。
(2)求$\triangle OPA$的面积。
(3)动点$E从原点O$出发,以每秒$1个单位长度的速度沿OA方向向终点A$运动,过点$E作EF\perp x轴交线段OP或线段PA于点F$($F是折线O-P-A$上的动点),$FB\perp y轴于点B$。设运动时间为$t$秒,长方形$OEFB与\triangle OPA重叠部分的面积为S$,求$S与t$之间的函数关系式。

答案：
解：
(1)联立直线$y=-\sqrt{3}x + 4\sqrt{3}$与直线$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$，得$\begin{cases}y=-\sqrt{3}x + 4\sqrt{3}\\y=\frac{\sqrt{3}}{3}x\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 3\\y=\sqrt{3}\end{cases}$，
∴$P(3,\sqrt{3})$。
(2)当y = 0时，$-\sqrt{3}x + 4\sqrt{3}=0$，解得x = 4，即OA = 4。如图1，过点P作PH⊥OA于点H，则$PH=\sqrt{3}$，故$S_{\triangle POA}=\frac{1}{2}OA\cdot PH=\frac{1}{2}×4×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
(3)当$0\lt t\leqslant3$时，如图1，
∵$E(t,0)$，
∴$F(t,\frac{\sqrt{3}}{3}t)$，
∴OE = t，$EF=\frac{\sqrt{3}t}{3}$，此时长方形OEFB与△OPA重叠部分的面积$S=\frac{1}{2}OE\cdot EF=\frac{1}{2}t\cdot\frac{\sqrt{3}t}{3}=\frac{\sqrt{3}}{6}t^{2}$；当$3\lt t\leqslant4$时，如图2，$BF = OE = t$，$BG = 12 - 3t$，$EF=-\sqrt{3}t + 4\sqrt{3}$，重叠部分是四边形OEFG，此时$S=\frac{1}{2}(FG + OE)\cdot EF=\frac{1}{2}[t-(12 - 3t)+t]\cdot(-\sqrt{3}t + 4\sqrt{3})=-\frac{5\sqrt{3}}{2}t^{2}+16\sqrt{3}t - 24\sqrt{3}$。综上所述，S与t之间的函数关系式为$S=\begin{cases}\frac{\sqrt{3}}{6}t^{2}(0\lt t\leqslant3)\\-\frac{5\sqrt{3}}{2}t^{2}+16\sqrt{3}t - 24\sqrt{3}(3\lt t\leqslant4)\end{cases}$。
　

3. (嘉祥)如图,已知直线$AB的函数解析式为y= -2x+8$,与$x轴交于点A$,与$y轴交于点B$。
(1)求$A$,$B$两点的坐标。
(2)若$P(m,n)为线段AB$上的一个动点(与点$A$,$B$不重合),作$PE\perp x轴于点E$,$PF\perp y轴于点F$,连接$EF$。
①若$\triangle PAO的面积为S$,求$S关于m$的函数关系式,并写出$m$的取值范围。
②是否存在点$P$,使$EF$的值最小？若存在,求出$EF$的最小值；若不存在,请说明理由。

答案：
解：
(1)对y = −2x + 8，令y = 0，则−2x + 8 = 0，解得x = 4；令x = 0，得y = 8，
∴A(4,0)，B(0,8)。
(2)①如图，连接OP。
∵点P(m,n)为线段AB上的一个动点，
∴−2m + 8 = n。
∵A(4,0)，
∴OA = 4，
∴0＜m＜4，
∴$S=\frac{1}{2}× OA× PE=\frac{1}{2}×4× n = 2(-2m + 8)=-4m + 16(0\lt m\lt4)$。
②存在。
∵PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，OA⊥OB，
∴四边形OEPF是长方形，
∴EF = OP，
∴当OP⊥AB时，EF最小。
∵A(4,0)，B(0,8)，
∴AB = 4$\sqrt{5}$。
∵$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}× AB× OP$，
∴$OP=\frac{OA× OB}{AB}=\frac{4×8}{4\sqrt{5}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∴EF的最小值为$OP=\frac{8\sqrt{5}}{5}$。