《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

4. (武侯区期末)如图,一次函数$y = 2x$和$y = ax + 4$的图象相交于点$A(m,3)$,则关于$x$,$y$的方程组$\begin{cases}y = 2x,\\y = ax + 4\end{cases} $的解为(A)
A.$\begin{cases}x = \dfrac{3}{2},\\y = 3\end{cases} $
B.$\begin{cases}x = 3,\\y = \dfrac{3}{2}\end{cases} $
C.$\begin{cases}x = 3,\\y = 2\end{cases} $
D.$\begin{cases}x = 2,\\y = 3\end{cases} $

答案： 解：因为点$A(m,3)$在一次函数$y = 2x$的图象上，所以将$y = 3$代入$y = 2x$，得$3 = 2m$，解得$m=\dfrac{3}{2}$。所以点$A$的坐标为$\left(\dfrac{3}{2},3\right)$。
由于一次函数$y = 2x$和$y = ax + 4$的图象相交于点$A$，所以关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}y = 2x\\y = ax + 4\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=\dfrac{3}{2}\\y = 3\end{cases}$。
答案：A

5. (成华区期末)表一、表二分别给出了两条直线$l_1:y = k_1x + b_1与l_2:y = k_2x + b_2上的部分点的横坐标x和纵坐标y$的对应值.
表一：
| $x$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ |
| $y$ | $-1$ | $-2$ | $-3$ | $-4$ |
表二：
| $x$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ |
| $y$ | $-9$ | $-6$ | $-3$ | $0$ |
则关于$x$,$y的方程组\begin{cases}y = k_1x + b_1,\\y = k_2x + b_2\end{cases} $的解是$\begin{cases} x=-2 \\ y=-3 \end{cases}$.

答案： 解：由表一，设直线$l_1:y = k_1x + b_1$，取$x=-4$，$y=-1$和$x=-3$，$y=-2$代入，得
$\begin{cases}-4k_1 + b_1=-1\\-3k_1 + b_1=-2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1=-1\\b_1=-5\end{cases}$，所以$l_1:y=-x - 5$。
由表二，设直线$l_2:y = k_2x + b_2$，取$x=-4$，$y=-9$和$x=-3$，$y=-6$代入，得
$\begin{cases}-4k_2 + b_2=-9\\-3k_2 + b_2=-6\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=3\\b_2=3\end{cases}$，所以$l_2:y=3x + 3$。
联立方程组$\begin{cases}y=-x - 5\\y=3x + 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-2\\y=-3\end{cases}$。
$\left\{\begin{array}{l} x=-2,\\ y=-3\end{array}\right.$

6. (双流区期末)如图,已知一次函数$y_1 = k_1x + b_1和y_2 = k_2x + b_2的图象交于点P(2,4)$,则关于$x的方程k_1x + b_1 = k_2x + b_2$的解是______.

x=2

答案： 方程$k_1x + b_1 = k_2x + b_2$的解是两函数图象交点的横坐标，因为两函数交于点$P(2,4)$，所以方程的解为$x=2$。
$x=2$

7. (成外)如图,已知函数$y = x + 1和y = ax + 3的图象交于点P$,且点$P的横坐标为1$,则关于$x$,$y的方程组\begin{cases}x - y = -1,\\ax - y = -3\end{cases} $的解是______.

$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$

答案： 解：因为点P是函数$y = x + 1$和$y = ax + 3$的交点，且点P的横坐标为1，
将$x = 1$代入$y = x + 1$，得$y = 1 + 1 = 2$，
所以点P的坐标为$(1, 2)$。
又因为方程组$\begin{cases}x - y = -1\\ax - y = -3\end{cases}$可变形为$\begin{cases}y = x + 1\\y = ax + 3\end{cases}$，
所以方程组的解就是两函数图象交点的坐标，
则方程组的解为$\begin{cases}x = 1\\y = 2\end{cases}$。
$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$

8. (天府新区期末)当$m$,$n$是正实数,且满足$m + n = mn$时,就称点$P(m,\dfrac{m}{n})$为“美好点”. 已知点$A(1,8)与点B的坐标满足y = -x + b$,且点$B$是“美好点”,则$\triangle OAB$的面积为______18.

答案： 解：将点$A(1,8)$代入$y=-x+b$，得$8=-1+b$，解得$b=9$，所以直线表达式为$y=-x+9$。
设点$B$的坐标为$(x,y)$，因为点$B$在直线$y=-x+9$上，所以$B(x,-x+9)$。
因为点$B$是“美好点”，所以$\begin{cases}m=x\\frac{m}{n}=-x+9\end{cases}$。
又因为$m+n=mn$，$m,n$是正实数，等式两边同时除以$n$得$\frac{m}{n}+1=m$，即$m - 1=\frac{m}{n}$。
所以$-x + 9 = m - 1$，又因为$m = x$，则$-x + 9 = x - 1$，解得$x = 5$。
所以$y=-5 + 9 = 4$，即点$B$的坐标为$(5,4)$。
$\triangle OAB$的面积：过点$A$作$x$轴垂线，垂足为$C(1,0)$；过点$B$作$x$轴垂线，垂足为$D(5,0)$。
$S_{\triangle OAB}=S_{梯形ACDB}+S_{\triangle AOC}-S_{\triangle BOD}$
$=\frac{1}{2}×(8 + 4)×(5 - 1)+\frac{1}{2}×1×8-\frac{1}{2}×5×4$
$=\frac{1}{2}×12×4 + 4 - 10$
$=24 + 4 - 10$
$=18$
故$\triangle OAB$的面积为$18$。

1. (成外)一次函数$y= -\frac {3}{2}x+3$的图象如图所示,当$-3＜y＜3$时,x的取值范围是 (C)
A.$x＞4$
B.$0＜x＜2$
C.$0＜x＜4$
D.$2＜x＜4$

答案： 解：当$y = 3$时，$-\frac{3}{2}x + 3 = 3$，解得$x = 0$；
当$y=-3$时，$-\frac{3}{2}x + 3=-3$，解得$x = 4$。
因为$k=-\frac{3}{2}＜0$，$y$随$x$的增大而减小，
所以当$-3＜y＜3$时，$0＜x＜4$。
答案：C