《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

1. (金牛区期末)商店以每件13元的价格购进某商品100件,售出部分后进行了降价促销,销售金额y(元)与销售量x(件)的函数关系如图所示,则售完这100件商品可盈利250元.

答案： 解：设降价阶段函数表达式为$y = kx + b$。
将$(40, 800)$，$(80, 1300)$代入得：
$\begin{cases}40k + b = 800 \\80k + b = 1300\end{cases}$
解得$k = \frac{25}{2}$，即降价后每件售价为$\frac{25}{2}$元。
总成本为$13×100 = 1300$元，由图知售出80件销售额为1300元，刚好收回成本。
剩余商品数量为$100 - 80 = 20$件，盈利为$\frac{25}{2}×20 = 250$元。
250

2. (武侯区期末)如图,某个体户购进一批时令水果,20天销售完毕.他将本次的销售情况进行了跟踪记录,根据所记录的数据绘制了函数图象,其中日销售量y(千克)与销售时间x(天)之间的函数关系如图甲所示,销售单价p(元/千克)与销售时间x(天)之间的函数关系如图乙所示.
(1)直接写出y与x之间的函数关系式.
(2)分别求出第10天和第15天的销售金额.
(3)若日销售量不低于24千克的时间段为“最佳销售期”,则此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天? 在此期间销售单价最高为多少元?

答案： 解:
(1) 分两种情况:
① 当 $ 0 \leq x \leq 15 $ 时，设日销售量 $ y $ (千克) 与销售时间 $ x $ (天) 之间的函数解析式为 $ y = k_1x $.
∵ 直线 $ y = k_1x $ 过点 $ (15,30) $，
∴ $ 15k_1 = 30 $，解得 $ k_1 = 2 $，
∴ $ y = 2x (0 \leq x \leq 15) $.
② 当 $ 15 ＜ x \leq 20 $ 时，设日销售量 $ y $ (千克) 与销售时间 $ x $ (天) 之间的函数解析式为 $ y = k_2x + b $.
∵ 点 $ (15,30) $，$ (20,0) $ 在 $ y = k_2x + b $ 的图象上，
∴ $ \begin{cases} 15k_2 + b = 30, \\ 20k_2 + b = 0, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k_2 = -6, \\ b = 120, \end{cases} $
∴ $ y = -6x + 120 (15 ＜ x \leq 20) $.
综上可知，$ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式为 $ y = \begin{cases} 2x (0 \leq x \leq 15), \\ -6x + 120 (15 ＜ x \leq 20). \end{cases} $
(2)
∵ 第 10 天和第 15 天在第 10 天至第 20 天之间，
∴ 当 $ 10 \leq x \leq 20 $ 时，设销售单价 $ p $ (元/千克) 与销售时间 $ x $ (天) 之间的函数解析式为 $ p = mx + n $.
∵ 点 $ (10,10) $，$ (20,8) $ 在 $ p = mx + n $ 的图象上，
∴ $ \begin{cases} 10m + n = 10, \\ 20m + n = 8, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} m = -\frac{1}{5}, \\ n = 12, \end{cases} $
∴ $ p = -\frac{1}{5}x + 12 (10 \leq x \leq 20) $.
当 $ x = 10 $ 时，$ p = -\frac{1}{5} × 10 + 12 = 10 $，$ y = 2 × 10 = 20 $，销售金额为 $ 10 × 20 = 200 $ (元)；
当 $ x = 15 $ 时，$ p = -\frac{1}{5} × 15 + 12 = 9 $，$ y = 30 $，销售金额为 $ 9 × 30 = 270 $ (元).
故第 10 天和第 15 天的销售金额分别为 200 元、270 元.
(3) 若日销售量不低于 24 千克，则 $ y \geq 24 $.
当 $ 0 \leq x \leq 15 $ 时，$ y = 2x $，解不等式 $ 2x \geq 24 $，得 $ x \geq 12 $，
∴ $ 12 \leq x \leq 15 $；
当 $ 15 ＜ x \leq 20 $ 时，$ y = -6x + 120 $，解不等式 $ -6x + 120 \geq 24 $，得 $ x \leq 16 $，
∴ $ 15 ＜ x \leq 16 $.
因此，当 $ y \geq 24 $ 时，$ 12 \leq x \leq 16 $，
∴ “最佳销售期”共有 $ 16 - 12 + 1 = 5 $ (天).
∵ $ p = -\frac{1}{5}x + 12 (12 \leq x \leq 16) $，$ -\frac{1}{5} ＜ 0 $，
∴ $ p $ 随 $ x $ 的增大而减小，
∴ 当 $ x = 12 $ 时，$ p $ 有最大值，此时 $ p = -\frac{1}{5} × 12 + 12 = 9.6 $.
答: 此次销售过程中“最佳销售期”共有 5 天，在此期间销售单价最高为 9.6 元/千克.