《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

1.(成华区期末)下列计算正确的是 (A)
A.$\sqrt {2^{2}}= 2$
B.$\sqrt {(-2)^{2}}= -2$
C.$\sqrt {2^{2}}= \pm 2$
D.$\sqrt {(-2)^{2}}= \pm 2$

答案： 解：
A. $\sqrt{2^2} = \sqrt{4} = 2$，正确；
B. $\sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = 2$，原选项错误；
C. $\sqrt{2^2} = 2$，算术平方根为非负数，原选项错误；
D. $\sqrt{(-2)^2} = 2$，算术平方根为非负数，原选项错误。
结论：A

2.(金牛区期末)下列计算正确的是 (C)
A.$\sqrt {8}-\sqrt {2}= \sqrt {6}$
B.$\sqrt {6}= 3\sqrt {2}$
C.$\sqrt {(-2)^{2}}= 2$
D.$\sqrt {2}-1= 1$

答案： A. $\sqrt{8} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2} \neq \sqrt{6}$，错误；
B. $3\sqrt{2} = \sqrt{9 × 2} = \sqrt{18} \neq \sqrt{6}$，错误；
C. $\sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = 2$，正确；
D. $\sqrt{2} - 1 \approx 1.414 - 1 = 0.414 \neq 1$，错误。
答案：C

3.(实外)在数轴上,点A表示的数是$\sqrt {3}$,点B表示的数是$\sqrt {3}-2$,则A,B两点之间的距离等于 (D)
A.$2\sqrt {3}-2$
B.$2-2\sqrt {3}$
C.-2
D.2

答案： 解：数轴上两点之间的距离为这两点所表示的数的差的绝对值。
点A表示的数是$\sqrt{3}$，点B表示的数是$\sqrt{3}-2$，则A、B两点之间的距离为：
$|\sqrt{3} - (\sqrt{3} - 2)| = |\sqrt{3} - \sqrt{3} + 2| = |2| = 2$
答案：D

4.(武侯区期末)我们把形如$a\sqrt {x}+b$(a,b为有理数,$\sqrt {x}$为最简二次根式)的数叫做$\sqrt {x}$型无理数,如$3\sqrt {3}+1是\sqrt {3}$型无理数,则$(\sqrt {2}+\sqrt {10})^{2}$是 (C)
A.$\sqrt {2}$型无理数
B.$\sqrt {3}$型无理数
C.$\sqrt {5}$型无理数
D.$\sqrt {10}$型无理数

答案： 解：$(\sqrt{2} + \sqrt{10})^2$
$= (\sqrt{2})^2 + 2×\sqrt{2}×\sqrt{10} + (\sqrt{10})^2$
$= 2 + 2\sqrt{20} + 10$
$= 12 + 4\sqrt{5}$
此结果形如$a\sqrt{x} + b$，其中$a = 4$，$b = 12$（均为有理数），$\sqrt{x} = \sqrt{5}$（最简二次根式），所以是$\sqrt{5}$型无理数。
C

5.(嘉祥)观察下列二次根式的化简:
$S_{1}= \sqrt {1+\frac {1}{1^{2}}+\frac {1}{2^{2}}}= 1+\frac {1}{1}-\frac {1}{2};$
$S_{2}= \sqrt {1+\frac {1}{1^{2}}+\frac {1}{2^{2}}}+\sqrt {1+\frac {1}{2^{2}}+\frac {1}{3^{2}}}= (1+\frac {1}{1}-\frac {1}{2})+(1+\frac {1}{2}-\frac {1}{3});$
$S_{3}= \sqrt {1+\frac {1}{1^{2}}+\frac {1}{2^{2}}}+\sqrt {1+\frac {1}{2^{2}}+\frac {1}{3^{2}}}+\sqrt {1+\frac {1}{3^{2}}+\frac {1}{4^{2}}}= (1+\frac {1}{1}-\frac {1}{2})+(1+\frac {1}{2}-\frac {1}{3})+(1+\frac {1}{3}-\frac {1}{4});$
……
则$\frac {S_{2020}}{2020}= $____$\frac{2022}{2021}$.

答案： 解：观察可得，第$n$个二次根式$\sqrt{1 + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n + 1)^2}} = 1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$。
$S_{2020}$为前$2020$个这样的二次根式之和，即：
$\begin{aligned}S_{2020}&=(1 + 1 - \frac{1}{2}) + (1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \cdots + (1 + \frac{1}{2020} - \frac{1}{2021})\\&=2020×1 + (1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{2020} - \frac{1}{2021})\\&=2020 + (1 - \frac{1}{2021})\\&=2020 + \frac{2020}{2021}\\&=\frac{2020×2021 + 2020}{2021}\\&=\frac{2020×(2021 + 1)}{2021}\\&=\frac{2020×2022}{2021}\end{aligned}$
则$\frac{S_{2020}}{2020} = \frac{2022}{2021}$。
$\frac{2022}{2021}$

6.(师大一中)计算:
(1)$\sqrt {12}+|2-\sqrt {3}|-(\frac {1}{2})^{-1};$
(2)$\sqrt {48}÷\sqrt {3}+\sqrt [3]{-8}+\frac {1}{\sqrt {2}-1}+(2016-π)^{0}.$

答案：
(1)解：原式$=2\sqrt{3}+2-\sqrt{3}-2=\sqrt{3}$
(2)解：原式$=4+(-2)+\sqrt{2}+1+1=4+\sqrt{2}$