《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

4. (天府七中)如图,在平面直角坐标系中,$O$是坐标原点,四边形$ABCO$是菱形,点$A的坐标为(-3,4)$,点$C在x$轴的正半轴上,直线$AC交y轴于点M$,$AB边交y轴于点H$。
(1)求直线$AC$的解析式；
(2)连接$BM$,如图$2$,动点$P从点A$出发,沿折线$A-B-C方向以2$个单位长度/秒的速度向终点$C$匀速运动,设$\triangle PMB的面积为S(S\neq0)$,点$P的运动时间为t$秒,求$S与t$之间的函数关系式(要求写出自变量$t$的取值范围)。

答案： 解：
(1)
∵$A(-3,4)$，
∴$AO = 5$，
∴$OC = 5$，
∴$C(5,0)$，
∴直线$AC:y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$。
(2)由
(1)可得$M(0,\frac{5}{2})$。当$0\leqslant t\lt\frac{5}{2}$时，$S=\frac{1}{2}×(5 - 2t)×(4-\frac{5}{2})=-\frac{3}{2}t+\frac{15}{4}$。当$\frac{5}{2}\lt t\leqslant5$时，
∵∠OCM=∠BCM，$CO = CB$，$MC = MC$，
∴△OMC≌△BMC，
∴∠MOC=∠MBC = 90°，$OM = BM=\frac{5}{2}$，
∴△PBM是直角三角形，
∴$S=\frac{1}{2}BM\cdot BP=\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×(2t - 5)=\frac{5}{2}t-\frac{25}{4}$。综上所述，$S=\begin{cases}-\frac{3}{2}t+\frac{15}{4}(0\leqslant t\lt\frac{5}{2})\frac{5}{2}t-\frac{25}{4}(\frac{5}{2}\lt t\leqslant5)\end{cases}$。

5. (天府新区期末)如图,在平面直角坐标系中,$A(0,a)$,$B(b,0)$,$OC= OA$,且$a$,$b满足|a-8|+\sqrt{b+6}= 0$。
(1)求直线$AB$的函数表达式；
(2)现有一动点$P从点B$出发,以$1$个单位长度/秒的速度沿$x轴正方向运动到点C$停止,设点$P的运动时间为t$秒,连接$AP$,过点$C作AP的垂线交射线AP于点M$,交$y轴于点N$,请用含$t的式子表示线段ON$的长度；
(3)在(2)的条件下,连接$BM$,当$S_{\triangle ABM}:S_{\triangle ACM}= 3:7$时,求此时点$P$的坐标。

答案：
解：
(1)
∵$\vert a - 8\vert+\sqrt{b + 6}=0$，
∴a - 8 = 0，b + 6 = 0，
∴a = 8，b = -6，
∴A(0,8)，B(−6,0)。设直线AB的函数表达式为y = kx + m，则$\begin{cases}m = 8\\-6k + m = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=\frac{4}{3}\\m = 8\end{cases}$，
∴直线AB的函数表达式为$y=\frac{4}{3}x + 8$。
(2)由
(1)知，A(0,8)，B(−6,0)，
∴OB = 6，OA = 8。
∵OC = OA，
∴OC = 8，
∴C(8,0)。①当点P在x轴负半轴时，即$0\leqslant t\lt6$时，如图1，由运动，知BP = t，
∴OP = 6 - t。
∵CM⊥AP，
∴∠CMA = 90°=∠AOP=∠AOC。
∵∠ANM=∠CNO，
∴∠OAP=∠OCN。又
∵OA = OC，
∴△AOP≌△CON(ASA)，
∴ON = OP = 6 - t。

②当点P在x轴正半轴时，即$6\lt t\leqslant14$时，如图2，由运动，知BP = t，
∴OP = t - 6。同①的方法，得△AOP≌△CON(ASA)，
∴ON = OP = t - 6。③当点P与原点O重合时，即t = 6时，点N与原点O重合，ON = 0。
(3)如图3，过点B作BH⊥AP交AP的延长线于点H，则$S_{\triangle ABM}=\frac{1}{2}AM\cdot BH$，$S_{\triangle ACM}=\frac{1}{2}AM\cdot CM$。
∵$S_{\triangle ABM}:S_{\triangle ACM}=3:7$，
∴$\frac{\frac{1}{2}AM\cdot BH}{\frac{1}{2}AM\cdot CM}=\frac{3}{7}$，
∴$\frac{BH}{CM}=\frac{3}{7}$。
∵$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}AP\cdot BH$，$S_{\triangle ACP}=\frac{1}{2}AP\cdot CM$，
∴$S_{\triangle ABP}:S_{\triangle ACP}=3:7$。
∵$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}BP\cdot OA$，$S_{\triangle ACP}=\frac{1}{2}CP\cdot OA$，
∴BP:CP = 3:7，
∴BP:BC = 3:10。
∵B(−6,0)，C(8,0)，
∴BC = 14，
∴BP = 4.2，
∴OP = 6 - 4.2 = 1.8，
∴P(−1.8,0)。