《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

11. (武侯区期末)在四边形ABCD中,AD//BC,∠B= 90°,E是BC边上一点,连接AE,将△ABE沿直线AE翻折得到△AFE,射线EF交边AD于点G。
(1)如图1,求证：AG= EG。
(2)当AB= 4时,
(ⅰ)如图2,若四边形ABCD的面积为24,且当点G与点D重合时,BC= FG,求AD的长；
(ⅱ)在BC边上取一点H,连接AH,使得AH= AG,若△AFG的面积是△AEH的面积的2倍,求BE的长。

答案：

(1)证明:
∵ 将$△ABE$沿直线 AE 翻折得到$△AFE,\therefore △ABE≌△AFE,\therefore ∠AEB = ∠AEF$.
$\because AD// BC,\therefore ∠GAE = ∠AEB,\therefore ∠GAE = ∠AEF,\therefore AG = EG$.
(2)解:(i)$\because AD// BC,∠B = 90^{\circ }$,四边形 ABCD 的面积为 24,$AB = 4,\therefore \frac{1}{2}(AD + BC)\cdot AB = 24$,$\therefore 2(AD + BC) = 24,\therefore AD + BC = 12$.设$AD = x$,则$BC = 12 - x$.
$\because $将$△ABE$沿直线 AE 翻折得到$△AFE,\therefore △ABE≌△AFE,\therefore AF = AB = 4$.
$\because $当点 G 与点 D 重合时,$BC = FG,AF⊥ED,\therefore AF^{2}+FG^{2}=AD^{2},\therefore 4^{2}+(12 - x)^{2}=x^{2}$,$\therefore x = \frac{20}{3},\therefore AD$的长为$\frac{20}{3}$.
(ii)由题意得$AF = AB,AB⊥BC,AF⊥EG$,由
(1)得$AG = EG$.
$\because AH = AG,\therefore AH = EG$.
在$Rt△ABH$和$Rt△AFG$中,$\begin{cases} AB = AF \\ AH = AG \end{cases}$,$\therefore Rt△ABH≌Rt△AFG(HL),\therefore BH = FG$.
$\because △AFG$的面积是$△AEH$的面积的 2 倍,$S_{△AFG}=\frac{1}{2}FG\cdot AF,S_{△AHE}=\frac{1}{2}HE\cdot AB,\therefore FG = 2HE$.
设$HE = a$,则$FG = 2a$.
①如图 1,当点 H 在点 E 的左侧时,$\therefore BH = FG = 2a,\therefore BE = BH + HE = 3a$.
$\because $将$△ABE$沿直线 AE 翻折得到$△AFE,\therefore △ABE≌△AFE,\therefore BE = EF = 3a,\therefore EG = EF + FG = 5a$.
$\because $在$Rt△AFG$中,$AG^{2}=AF^{2}+FG^{2},AG^{2}=EG^{2},\therefore 4^{2}+(2a)^{2}=(5a)^{2}$,解得$a = \frac{4\sqrt{21}}{21}$(负数不合题意,已舍去),$\therefore BE = 3a = \frac{4\sqrt{21}}{7}$.

②如图 2,当点 H 在点 E 的右侧时,$\therefore BH = FG = 2a,\therefore BE = BH - HE = a$.
$\because $将$△ABE$沿直线 AE 翻折得到$△AFE,\therefore △ABE≌△AFE,\therefore BE = EF = a,\therefore EG = EF + FG = 3a$.
$\because $在$Rt△AFG$中$AG^{2}=AF^{2}+FG^{2},AG^{2}=EG^{2},\therefore 4^{2}+(2a)^{2}=(3a)^{2}$,解得$a = \frac{4\sqrt{5}}{5}$(负数不合题意,舍去),$\therefore BE = \frac{4\sqrt{5}}{5}$.
综上所述,若$△AFG$的面积是$△AEH$的面积的 2 倍,BE 的长为$\frac{4\sqrt{21}}{7}$或$\frac{4\sqrt{5}}{5}$.

1. (天府新区期末)如图,正方形 $ABCD$ 的边长为 $2$,$E$ 是边 $BC$ 上的一点,连接 $AE$,将点 $E$ 绕点 $A$ 顺时针旋转使得点 $E$ 的对应点 $F$ 落在 $CB$ 的延长线上,连接 $AF$,过点 $F$ 作 $AE$ 的垂线,交对角线 $AC$ 于点 $G$。若 $AG = 2CG$,则线段 $EF$ 的长为____4/3。

答案： 解：
∵正方形边长为2，
∴AC=√(2²+2²)=2√2，∠ACB=45°。
∵AG=2CG，AG+CG=AC=2√2，
∴CG=2√2/3，AG=4√2/3。
过G作GH⊥BC于H，
∵∠ACB=45°，
∴△GHC为等腰直角三角形，
∴GH=CH=CG×√2/2=2√2/3×√2/2=2/3，
∴BH=BC-CH=2-2/3=4/3，
∴G(4/3,2/3)（以B为原点，BC为x轴，BA为y轴）。
设E(t,0)，则AE：y=(-2/t)x+2，
∵F在CB延长线上，设F(m,0)，
由旋转得AF=AE，
∴√(m²+2²)=√(t²+2²)，
∵F在CB延长线，m＜0，t＞0，
∴m=-t，即F(-t,0)。
∵FG⊥AE，
∴k_FG= t/2，
FG：y=(t/2)(x+t)，
∵G(4/3,2/3)在FG上，
∴2/3=(t/2)(4/3 +t)，
解得t=2/3（t=-2舍），
∴E(2/3,0)，F(-2/3,0)，
∴EF=2/3 -(-2/3)=4/3。
答：EF=4/3。