《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

2. (实外)如图,一架2.5米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AC上,这时梯足B到墙底C的距离为0.7米。如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米,那么梯足将向外移多少米？

答案： 解：在Rt△ABC中，AB=2.5米，BC=0.7米，
∴AC=$\sqrt{AB^2 - BC^2}=\sqrt{2.5^2 - 0.7^2}=2.4$（米）。
∵梯子顶端下滑0.4米，即AE=0.4米，
∴EC=AC - AE=2.4 - 0.4=2（米）。
在Rt△DCE中，DE=AB=2.5米，EC=2米，
∴DC=$\sqrt{DE^2 - EC^2}=\sqrt{2.5^2 - 2^2}=1.5$（米）。
∴DB=DC - BC=1.5 - 0.7=0.8（米）。
即梯足将向外移0.8米。

3. (武侯区期末)如图,长7.5米的梯子靠在墙上,梯子的底部离墙的底端4.5米。
(1)求梯子的顶端到地面的距离；
(2)由于地面有水,梯子底部向右滑动1.5米,则梯子顶端向下滑多少米？

答案： 3. 解:
(1) 梯子的顶端到地面的距离 $ h = \sqrt { 7. 5 ^ { 2 } - 4. 5 ^ { 2 } } = 6 $ (米).
(2) 梯子底部向右滑动后离墙底端 $ 4. 5 + 1. 5 = 6 $ (米), 则梯子的顶端到地面的距离为 $ \sqrt { 7. 5 ^ { 2 } - 6 ^ { 2 } } = 4. 5 $ (米), $ \therefore $ 梯子顶端向下滑 $ 6 - 4. 5 = 1. 5 $ (米).

1. (高新区期末)如图,在点 B 正北方 $ 150\sqrt{2} $ cm 的 A 处有一信号接收器,点 C 在点 B 的北偏东 $ 45^{\circ} $ 的方向,一电子狗 P 从点 B 向点 C 的方向以 5 cm/s 的速度运动并持续向四周发射信号,信号接收器接收信号的有效范围为 170 cm.
(1)求出点 A 到线段 BC 的最近距离.
(2)请判断点 A 处是否能接收到信号,并说明理由. 若能接收到信号,求出可接收信号的时间.

答案：
1. 解:
(1)如图,过点A作AD⊥BC于点D,则△ABD为等腰直角三角形.设AD=BD=x cm,则x²+x²=(150√2)²,
∴x₁=150,x₂=-150(舍去),
∴AD=150 cm.
故点A到线段BC的最近距离为150 cm.

(2)由
(1)知AD=150 cm＜170 cm,
∴点A处能接收到信号.如图,当AP=170 cm时,PD=√(170²-150²)=80(cm);同理,当AP'=170 cm时,P'D=80 cm,
∴PP'=160 cm,
∴可接收信号的时间为160÷5=32(s).