《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

9. (石室联中)如图,已知点$A(2,0)$,直线$BC的表达式为y = 3x + 3$,与$x$轴、$y轴分别交于C$,$B$两点。
(1)求直线$AB$的表达式；
(2)如图1,点$E在线段BC$上,点$D在线段CB$的延长线上,且$CE = BD$,$M为线段AB$上一点,当点$M$,$E$,$D构成以M$为直角顶点的等腰直角三角形时,求点$D$的坐标；
(3)如图2,以点$A$为中心,顺时针旋转$\triangle AOB得\triangle AHQ$,点$O$,$B分别对应点H$,$Q$,$N为线段AB$的中点,请直接写出$\triangle NHQ$面积的最大值。

答案：
9.解:
(1)在$y = 3x + 3$中，当$x = 0$时，$y = 3$，
∴$B(0,3)$.设直线$AB$的表达式是$y = kx + b(k≠0)$，
∴$\begin{cases}b = 3\\2k + b = 0\end{cases}$解得$\begin{cases}k = -\frac{3}{2}\\b = 3\end{cases}$
∴直线$AB$的表达式为$y = -\frac{3}{2}x + 3$.
(2)如图1，过点$M$作$MH\perp x$轴于点$H$，过点$D$作$DK\perp MH$交$HM$的延长线于点$K$，过点$E$作$EF\perp MH$于点$F$，
∴$\angle DMK+\angle EMF = 90^{\circ}$，$\angle EMF+\angle MEF = 90^{\circ}$，
∴$\angle DMK=\angle NEF$；
　又
∵$MD = EM$，$\angle DKM=\angle MFE = 90^{\circ}$，
∴$\triangle DKM\cong\triangle NFE(AAS)$，
∴$FM = DK$，$EF = MK$.
　在$y = 3x + 3$中，当$y = 0$时，$x = -1$，
∴$C(-1,0)$.
　设$M(m,-\frac{3}{2}m + 3)$，$E(a,3a + 3)$.
∵点$E$在线段$BC$上，点$D$在线段$CB$的延长线上，且$CE = BD$，$C(-1,0)$，$B(0,3)$，则$D(a + 1,3a + 6)$.
　由$\begin{cases}EF = DK\\FM = MK\end{cases}$
　　　$\begin{cases}m - a = 3a + 6+\frac{3}{2}m - 3\\-\frac{3}{2}m + 3 - 3a - 3 = m - a - 1\end{cases}$
　解得$\begin{cases}a = -\frac{8}{9}\\m = \frac{10}{9}\end{cases}$，
∴$D(\frac{1}{9},\frac{10}{3})$.
(3)如图2，过点$Q$作$QP\perp NH$交$NH$的延长线于点$P$.
∵$NH\leq NA+AH$，$QP\leq QH$，
∴$NH$的最大值为$NA+AH$，$QP$的最大值为$QH$.
∵$B(0,3)$，$A(2,0)$，
∴$OA = 2$，$OB = 3$，$AB=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13}$
由旋转，得$AH = OA = 2$，$QH = OB = 3$.
∵$N$为线段$AB$的中点，
∴$NA=\frac{\sqrt{13}}{2}$.
如图3，当$N$，$A$，$H$三点共线，$QH\perp NH$时，$\triangle NHQ$的面积最大，
∴$NH = NA+AH=\frac{\sqrt{13}}{2}+2$，$QH = 3$，
∴$\triangle NHQ$面积的最大值为$\frac{1}{2}QH\cdot NH=\frac{1}{2}×3×(\frac{\sqrt{13}}{2}+2)=\frac{3\sqrt{13}}{4}+3$.