《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

2. (新都区期末)如图,在平面直角坐标系中,点$A_{1}(1,1)$在直线$y= x$上,过点$A_{1}$作$y$轴的平行线,交直线$y= -x$于点$B_{1}$,以线段$A_{1}B_{1}$为边在右侧作正方形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$,$C_{1}D_{1}$所在的直线交直线$y= x$于点$A_{2}$,交直线$y= -x$于点$B_{2}$,再以线段$A_{2}B_{2}$为边在右侧作正方形$A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$,…,依此类推。按照图中反映的规律,则点$A_{n}$的坐标是______,第$2020$个正方形的边长是______。

$(3^{n - 1},3^{n - 1})$$2×3^{2019}$

答案： 解：由题意，点$A_1(1,1)$在直线$y = x$上，过$A_1$作$y$轴平行线交$y=-x$于$B_1$，则$B_1$横坐标为$1$，代入$y=-x$得$B_1(1,-1)$，$A_1B_1=1 - (-1)=2$，第1个正方形边长为$2$。
$A_1D_1=2$，$A_1$横坐标为$1$，则$A_2$横坐标为$1 + 2=3$，又$A_2$在$y = x$上，$\therefore A_2(3,3)$。
同理，$B_2$横坐标为$3$，代入$y=-x$得$B_2(3,-3)$，$A_2B_2=3 - (-3)=6$，第2个正方形边长为$6$。
$A_2D_2=6$，$A_2$横坐标为$3$，则$A_3$横坐标为$3 + 6=9$，$A_3$在$y = x$上，$\therefore A_3(9,9)$。
依此类推，$A_n$横坐标为$3^{n - 1}$，又在$y = x$上，$\therefore A_n(3^{n - 1},3^{n - 1})$。
第1个正方形边长$2=2×3^0$，第2个边长$6=2×3^1$，第3个边长$18=2×3^2$，...，第$n$个正方形边长为$2×3^{n - 1}$，故第2020个正方形边长为$2×3^{2019}$。
点$A_n$的坐标是$(3^{n - 1},3^{n - 1})$，第2020个正方形的边长是$2×3^{2019}$。

3. (嘉祥)已知一次函数$y= 2x-4的图象与x$轴、$y轴分别相交于点A$,$B$,点$P$在该函数的图象上,点$P到x$轴、$y轴的距离分别为d_{1}$,$d_{2}$。
(1)当$P为线段AB$的中点时,求$d_{1}+d_{2}$的值；
(2)直接写出$d_{1}+d_{2}$的范围,并求当$d_{1}+d_{2}= 3时点P$的坐标；
(3)若在线段$AB上存在无数个点P$,使$d_{1}+ad_{2}= 4$($a$为常数),求$a$的值。

答案：
(1)对于一次函数$y = 2x - 4$，令$y = 0$，则$2x-4=0$，解得$x = 2$，所以$A(2,0)$；令$x = 0$，则$y=-4$，所以$B(0,-4)$。
因为$P$为线段$AB$的中点，所以$P$点横坐标为$\frac{2 + 0}{2}=1$，纵坐标为$\frac{0+(-4)}{2}=-2$，即$P(1,-2)$。
$d_{1}$为点$P$到$x$轴的距离，即$\vert - 2\vert=2$；$d_{2}$为点$P$到$y$轴的距离，即$\vert1\vert = 1$。
所以$d_{1}+d_{2}=2 + 1=3$。
(2)$d_{1}+d_{2}\geq2$。
设$P(m,2m - 4)$，则$d_{1}=\vert2m-4\vert$，$d_{2}=\vert m\vert$，所以$d_{1}+d_{2}=\vert m\vert+\vert2m - 4\vert$。
当$0\leq m\leq2$时，$2m-4\leq0$，$m\geq0$，则$d_{1}+d_{2}=m+(4 - 2m)=4 - m$。令$4 - m = 3$，解得$m = 1$，此时$y=2×1-4=-2$，所以$P(1,-2)$。
当$m＞2$时，$2m - 4＞0$，$m＞0$，则$d_{1}+d_{2}=m+(2m - 4)=3m - 4$。令$3m-4 = 3$，解得$m=\frac{7}{3}$，此时$y=2×\frac{7}{3}-4=\frac{14}{3}-\frac{12}{3}=\frac{2}{3}$，所以$P(\frac{7}{3},\frac{2}{3})$。
当$m＜0$时，$2m - 4＜0$，$m＜0$，则$d_{1}+d_{2}=-m+(4 - 2m)=4 - 3m$。令$4-3m = 3$，解得$m=\frac{1}{3}$，因为$m=\frac{1}{3}$不满足$m＜0$，舍去。
综上，点$P$的坐标为$(1,-2)$或$(\frac{7}{3},\frac{2}{3})$。
(3)因为点$P$在线段$AB$上，由$A(2,0)$，$B(0,-4)$可知，$0\leq x\leq2$，设$P(x,2x - 4)$。
此时$2x-4\leq0$，$x\geq0$，所以$d_{1}=\vert2x - 4\vert=4 - 2x$，$d_{2}=\vert x\vert=x$。
则$d_{1}+ad_{2}=4 - 2x+ax=4$，整理得$(a - 2)x=0$。
因为在线段$AB$上存在无数个点$P$，所以关于$x$的方程$(a - 2)x = 0$对$0\leq x\leq2$内的无数个$x$都成立，所以$a - 2 = 0$，即$a = 2$。
答案：
(1)$3$；
(2)$d_{1}+d_{2}\geq2$，点$P$的坐标为$(1,-2)$或$(\frac{7}{3},\frac{2}{3})$；
(3)$2$。