《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

4. (新都区期末)在$\triangle ABC$中,$AB = BC$,$\angle ABC = 90^{\circ}$,$D是边AC$上一点, 连接$DB$, 过点$C作直线BD$的垂线, 垂足为$E$.
(1)如图 1, 若$AF\bot BD于点F$, 求证:$CE = BF$;
(2)如图 2, 在线段$EC上截取EG = EB$, 连接$AG交BD于点H$, 求证:$CG = 2EH$;
(3)如图 3, 若$D为AC$的中点,$M是线段BC$的延长线上一点, 连接$DM$, 猜想$CM$,$BM$,$DM$之间的数量关系, 并说明理由.

答案：

(1)证明:$\because AF⊥BD,CE⊥BE,\therefore ∠AFB=90^{\circ }=∠CEB=∠ABC,\therefore ∠ABF+∠BAF=90^{\circ }=∠ABF+∠CBE,\therefore ∠BAF=∠CBE$.
又$\because AB=BC,\therefore △ABF\cong △BCE(AAS),\therefore CE=BF$.
(2)证明:如图1,过点A作$AF⊥BD$,交BD的延长线于点F.

与
(1)同理可得:$△ABF\cong △BCE(AAS),\therefore AF=BE,BF=EC$.
$\because EG=EB,\therefore EG=AF,CG=EF$.
又$\because ∠AFH=∠GEH=90^{\circ },∠AHF=∠GHE,\therefore △AFH\cong △GEH(AAS),\therefore FH=HE,\therefore CG=EF=2EH$.
(3)解:$BM^{2}+CM^{2}=2DM^{2}$.理由如下:
如图2,过点D作$DH⊥DM$,交AB的延长线于点H,连接$BD,MH$.

$\because AB=BC,∠ABC=90^{\circ },D$为$AC$的中点,$\therefore BD=DC,∠BDC=90^{\circ },\therefore ∠DCB=∠DBC=45^{\circ },∠BDC=∠MDH=90^{\circ },\therefore ∠MCD=∠DBH=135^{\circ },∠MDC=∠HDB,\therefore △CDM\cong △BDH(ASA),\therefore DM=DH,CM=BH$.
在$Rt△DMH$中,$MH^{2}=DM^{2}+DH^{2}=2DM^{2}$,在$Rt△BMH$中,$MH^{2}=BM^{2}+BH^{2}=BM^{2}+CM^{2},\therefore BM^{2}+CM^{2}=2DM^{2}$.