《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

1. (七中育才)如图, 在平面直角坐标系中, 直线 $ l $ 分别交 $ x $ 轴、 $ y $ 轴于 $ B, C $ 两点, 点 $ A, C $ 的坐标分别为 $ (3,0),(0,-3) $, 且 $ \angle O C B= 60^{\circ}, P $ 是直线 $ l $ 上一动点, 连接 $ A P $, 则 $ A P+\frac{\sqrt{3}}{2} P C $ 的最小值是____.

答案：
$\frac{3 + 3\sqrt{3}}{2}$ 【解析】如图,作$∠BCO$外角的平分线$CE$,过点$A$作$AG⊥CE$于点$G$,交$BC$于点$P$,交$y$轴于点$F$.$\because ∠OCB = 60^{\circ}$,$CE$平分$∠BCF$,$\therefore ∠FCG = ∠PCG = 60^{\circ}$,$\therefore$ 易得$PG = \frac{\sqrt{3}}{2}PC$,$\therefore$ 当点$A$,$P$,$G$共线时,$AP + \frac{\sqrt{3}}{2}PC$的值最小,且最小值为$AG$的长.$\because ∠FCG = ∠PCG = 60^{\circ}$,$AG⊥CE$,$\therefore ∠CPG = ∠CFG = 30^{\circ}$.$\because OA = 3$,$\therefore AF = 2OA = 6$,$OF = \sqrt{3}OA = 3\sqrt{3}$,$\therefore CF = 3\sqrt{3} - 3$,$\therefore FG = \frac{\sqrt{3}}{2}CF = \frac{9}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2}$,$\therefore AG = AF - FG = 6 - (\frac{9}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2}) = \frac{3 + 3\sqrt{3}}{2}$.

2. (七中八一)已知一次函数 $ y= k x+b(b \neq 0) $ 的图象与 $ x $ 轴、 $ y $ 轴分别相交于点 $ A, B $, 点 $ P $ 在该函数的图象上, 点 $ P $ 到 $ x $ 轴、 $ y $ 轴的距离分别为 $ d_1, d_2 $. 定义: 坐标轴距离 $ d= d_1+d_2 $. 若有一次函数 $ y= 2 x-1 $, 则当 $ d= 3 $ 时, 点 $ P $ 的横坐标为$-\frac{2}{3}$或$\frac{4}{3}$; 当点 $ P $ 在直线 $ y= 2 x-1 $ 上运动时, $ d $ 的最小值为$\frac{1}{2}$.

答案： 解：设点$P$的横坐标为$m$，则点$P$的纵坐标为$2m - 1$。
第一空：
由题意得$|m| + |2m - 1| = 3$。
- 当$m ＜ 0$时，$-m + 1 - 2m = 3$，解得$m = -\frac{2}{3}$；
- 当$0\leqslant m\leqslant \frac{1}{2}$时，$m + 1 - 2m = 3$，解得$m = -2$（舍去）；
- 当$m ＞ \frac{1}{2}$时，$m + 2m - 1 = 3$，解得$m = \frac{4}{3}$。
故点$P$的横坐标为$-\frac{2}{3}$或$\frac{4}{3}$。
第二空：
设$P(x, 2x - 1)$。
- 当$x\leqslant 0$时，$d = 1 - 3x$，$x = 0$时，$d_{\text{min}} = 1$；
- 当$0\leqslant x\leqslant \frac{1}{2}$时，$d = 1 - x$，$x = \frac{1}{2}$时，$d_{\text{min}} = \frac{1}{2}$；
- 当$x\geqslant \frac{1}{2}$时，$d = 3x - 1$，$x = \frac{1}{2}$时，$d_{\text{min}} = \frac{1}{2}$。
综上，$d$的最小值为$\frac{1}{2}$。
$-\frac{2}{3}$或$\frac{4}{3}$；$\frac{1}{2}$

3. (师大一中)如图, 在平面直角坐标系中, 已知点 $ M(2,-3), N(6,-3) $, 连接 $ M N $. 如果点 $ P $ 在直线 $ y= -x+1 $ 上, 且点 $ P $ 到直线 $ M N $ 的距离不小于 1 , 那么称点 $ P $ 是线段 $ M N $ 的“疏远点”.
(1) 判断点 $ A(2,-1) $ 是否是线段 $ M N $ 的“疏远点”, 并说明理由;
(2) 若点 $ P(a, b) $ 是线段 $ M N $ 的“疏远点”, 求 $ a $ 的取值范围;
(3) 在 (2) 的前提下, 用含 $ a $ 的代数式表示 $ \triangle M N P $ 的面积 $ S_{\triangle M N P} $, 并求出 $ S_{\triangle M N P} $ 的最小值.

答案： 解:
(1)是.理由如下:$\because$ 当$x = 2$时,$y = -2 + 1 = -1$,$\therefore$ 点$A(2,-1)$在直线$y = -x + 1$上.又$\because$ 点$A(2,-1)$到线段$MN$的距离是$2$,$2 ＞ 1$,$\therefore$ 点$A$是线段$MN$的"疏远点".
(2)$\because$ 点$P(a,b)$是线段$MN$的"疏远点",$M(2,-3)$,$N(6,-3)$,$\therefore |b - (-3)| \geqslant 1$,$\therefore b\geqslant -2$或$b\leqslant -4$.$\because b = -a + 1$,$\therefore -a + 1\geqslant -2$或$-a + 1\leqslant -4$,解得$a\leqslant 3$或$a\geqslant 5$.
(3)当$a\leqslant 3$时,$S_{\triangle MNP} = 4× (-a + 1 + 3)× \frac{1}{2} = -2a + 8$.当$a\geqslant 5$时,$S_{\triangle MNP} = 4× [-3 - (-a + 1)]× \frac{1}{2} = 2(a - 4) = 2a - 8$.当$a = 3$或$a = 5$时,$S_{\triangle MNP_{min}} = 2$.

4. (高新区期末)如图, 在平面直角坐标系中, 点 $ D $ 的横坐标为 4 , 直线 $ l_1: y= x+2 $ 经过点 $ D $, 分别与 $ x $ 轴、 $ y $ 轴交于 $ A, B $ 两点, 直线 $ l_2: y= k x+b $ 经过点 $ D $ 及点 $ C(1,0) $.
(1) 求出直线 $ l_2 $ 的解析式.
(2) 如图 1, 在直线 $ l_2 $ 上是否存在点 $ E $, 使 $ \triangle A B E $ 与 $ \triangle A B O $ 的面积相等? 若存在, 求出点 $ E $ 的坐标; 若不存在, 请说明理由.
(3) 如图 2, $ P $ 为线段 $ A D $ 上一点 (不含端点), 连接 $ C P $, 一动点 $ H $ 从点 $ C $ 出发, 沿线段 $ C P $ 以每秒 2 个单位长度的速度运动到点 $ P $, 再沿线段 $ P D $ 以每秒 $ 2 \sqrt{2} $ 个单位长度的速度运动到点 $ D $ 后停止, 求点 $ P $ 在整个运动过程中的最少用时.

答案：
解:
(1)由题意,得$A(-2,0)$,$B(0,2)$,$D(4,6)$,$C(1,0)$.将点$C$,$D$的坐标代入直线$l_2$的解析式,得$\begin{cases}k + b = 0,\\4k + b = 6,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 2,\\b = -2,\end{cases}$ $\therefore$ 直线$l_2$的解析式为$y = 2x - 2$.
(2)存在.①当点$E$在线段$CD$上时,过点$O$作$AB$的平行线交$l_2$于点$E$,则$OE$的解析式为$y = x$.由$\begin{cases}y = x,\\y = 2x - 2,\end{cases}$得$\begin{cases}x = 2,\\y = 2,\end{cases}$ $\therefore E(2,2)$.②当点$E$在线段$CD$的延长线上时,同理可得$E(6,10)$.综上所述,点$E$的坐标为$(2,2)$或$(6,10)$.
(3)如图,过点$D$作$x$轴的平行线$l_3$,过点$P$作$l_3$的垂线交$l_3$于点$M$,过点$C$作$CN⊥l_3$于点$N$,则点$P$的运动时间$t = \frac{PC}{2} + \frac{PD}{2\sqrt{2}} = \frac{PC}{2} + \frac{PM}{2} = \frac{PC + PM}{2}$.$\because PC + PM\geqslant CN = 6$,$\therefore t_{min} = \frac{6}{2} = 3$(秒),$\therefore$ 最少用时为$3$秒.