《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

1. (高新区期末)如图,直线$l_{1}:y= -x+3与x$轴、$y轴分别交于A$,$B$两点,点$C的坐标为(-5,-2)$,连接$AC$,$BC$,$D是线段AB$上的一动点,直线$l_{2}过C$,$D$两点。
(1)求$\triangle ABC$的面积。
(2)若点$D的横坐标为1$,在直线$l_{2}上是否存在点E$,使得点$E到直线l_{1}的距离为3\sqrt{2}$？若存在,求出点$E$的坐标；若不存在,请说明理由。
(3)将$\triangle BCD沿直线CD$翻折,点$B的对应点为M$,若$\triangle ADM$为直角三角形,求线段$BD$的长。

答案：
1. 解:
(1)把$y = 0$代入$y = -x + 3$，得$x = 3$，$\therefore$点$A$的坐标为$(3,0)$。
把$x = 0$代入$y = -x + 3$，得$y = 3$，$\therefore$点$B$的坐标为$(0,3)$。
$\because A(3,0)$，$B(0,3)$，$C(-5,-2)$，$\therefore AB = 3\sqrt{2}$，$AC = 2\sqrt{17}$，$BC = 5\sqrt{2}$。
$\because AB^{2}+BC^{2}=68$，$AC^{2}=68$，$\therefore AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$，$\therefore \triangle ABC$是直角三角形，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC = 15$。
(2)存在点$E$，使得点$E$到直线$l_{1}$的距离为$3\sqrt{2}$。
把$x = 1$代入$y = -x + 3$，得$y = 2$，$\therefore$点$D$的坐标为$(1,2)$。
设直线$l_{2}:y = kx + b$，代入$D(1,2)$，$C(-5,-2)$，得$\begin{cases}k + b = 2\\-5k + b = -2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = \frac{2}{3}\\b = \frac{4}{3}\end{cases}$。
$\therefore$直线$l_{2}$的解析式为$y = \frac{2}{3}x + \frac{4}{3}$。
①当点$E$的横坐标小于$1$，$F$为$BC$与$x$轴的交点，直线$EF//$直线$l_{1}$时，易得直线$EF$的解析式为$y = -x - 3$。
当$-x - 3 = \frac{2}{3}x + \frac{4}{3}$时，解得$x = -\frac{13}{5}$，$\therefore$点$E$的坐标为$(-\frac{13}{5},-\frac{2}{5})$。
②当点$E$的横坐标大于$1$时，点$E$与点$E_{1}$关于点$D$对称，$\therefore$点$E_{1}$的坐标为$(\frac{23}{5},\frac{22}{5})$。
综上所述，点$E$的坐标为$(-\frac{13}{5},-\frac{2}{5})$或$(\frac{23}{5},\frac{22}{5})$。
(3)①当$\angle DMA = 90^{\circ}$时，如图$1$，$\because \angle CMD = 90^{\circ}$，$\therefore \angle DMA+\angle CMD = 180^{\circ}$，$\therefore C$，$M$，$A$三点共线。
$\because A(3,0)$，$B(0,3)$，$C(-5,-2)$，$\therefore BC = 5\sqrt{2}$，$AB = 3\sqrt{2}$，$AC = 2\sqrt{17}$。
设$BD = a$，$AD = 3\sqrt{2}-a$。
$\because CM = CB = 5\sqrt{2}$，$\therefore AM = 2\sqrt{17}-5\sqrt{2}$。在$Rt\triangle AMD$中，$DM^{2}+AM^{2}=AD^{2}$，$\therefore a^{2}+(2\sqrt{17}-5\sqrt{2})^{2}=(3\sqrt{2}-a)^{2}$，
解得$a = \frac{10\sqrt{17}}{3}-\frac{25\sqrt{2}}{3}$，即$BD = \frac{10\sqrt{17}}{3}-\frac{25\sqrt{2}}{3}$。
②当$\angle DAM = 90^{\circ}$时，过点$M$作$MQ\perp BC$于点$Q$，如图$2$所示。


$\because \angle CBD = 90^{\circ}$，$\therefore AM// BC$，$\therefore QM = AB = 3\sqrt{2}$。
$\because CM = BC = 5\sqrt{2}$，$\therefore CQ = \sqrt{CM^{2}-QM^{2}} = 4\sqrt{2}$，$\therefore AM = BQ = \sqrt{2}$。
设$BD = a$，$AD = 3\sqrt{2}-a$。在$Rt\triangle ADM$中，$MD^{2}=AD^{2}+AM^{2}$，$\therefore a^{2}=(3\sqrt{2}-a)^{2}+(\sqrt{2})^{2}$，解得$a = \frac{5\sqrt{2}}{3}$，即$BD = \frac{5\sqrt{2}}{3}$。
综上所述，$BD$的长为$\frac{5\sqrt{2}}{3}$或$\frac{10\sqrt{17}}{3}-\frac{25\sqrt{2}}{3}$。