《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

10. (青羊区期末)阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：$∠MBN = 30^{\circ}$,$A为射线BM$上一点,且$AB = 4$,$C为射线BN$上一动点,连接$AC$,以$AC为边在AC右侧作等边三角形ACD$,连接$BD$。当$AC⊥BN$时,求$BD$的长。
小明发现：以$AB为边在AB左侧作等边三角形ABE$,连接$CE$,能得到一对全等的三角形,再利用$∠EBC = 90^{\circ}$,从而将问题解决(如图)。
请回答：
(1)小明得到的全等三角形是$\triangle$______≌$\triangle$______；$BD$的长为______。
(2)动点$C在射线BN$上运动,当运动到$AC = \sqrt{7}$时,求$BD$的长。
(3)动点$C在射线BN$上运动,求$\triangle ABD$周长的最小值。

答案：
解：
(1)$\triangle ABD \cong \triangle AEC$，$2\sqrt{7}$
(2)如图1，过点$A$作$AH \perp BC$于点$H$，以$AB$为边在$AB$左侧作等边三角形$ABE$，连接$CE$。$\because AB = 4$，$\angle MAN = 30^{\circ}$，$\therefore AH = 2$，$BH = 2\sqrt{3}$。
$\because AC = \sqrt{7}$，$\therefore HC = \sqrt{AC^{2}-AH^{2}} = \sqrt{(\sqrt{7})^{2}-2^{2}} = \sqrt{3}$，$\therefore BC = BH + HC = 3\sqrt{3}$。
$\because \angle EAB = \angle DAC = 60^{\circ}$，$\therefore \angle EAB + \angle BAC = \angle DAC + \angle BAC$，即$\angle EAC = \angle BAD$。
在$\triangle ABD$和$\triangle AEC$中，$\begin{cases}AB = AE\\\angle BAD = \angle EAC\\AD = AC\end{cases}$，$\therefore \triangle ABD \cong \triangle AEC(SAS)$，
$\therefore BD = CE = \sqrt{BE^{2}+BC^{2}} = \sqrt{4^{2}+(3\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{43}$，即此时$BD$的长为$\sqrt{43}$。
当点$C$在点$H$的左侧时，同法可得$BD = \sqrt{19}$。
综上所述，满足条件的$BD$的长为$\sqrt{43}$或$\sqrt{19}$。

(3)如图2，以$AB$为边在$AB$左侧作等边三角形$ABE$，连接$CE$。$\because AB = 4$为定值，$\therefore$要求$\triangle ABD$周长的最小值，只需求$AD + BD$的最小值。又由
(2)知$CE = BD$，且$AC = AD$，$\therefore$只需求$AC + CE$的最小值。延长$EB$至点$F$，使$BF = EB$，连接$AF$交$BN$于点$C'$，连接$EC'$。
当点$C$与点$C'$重合时，$AC + CE$的值最小，且最小值为$AF$的长，此时$\triangle ABD$的周长$= AF + AB$。
过点$A$作$AG \perp BE$于点$G$，$\therefore AG // BN$，
$\therefore \angle BAG = 30^{\circ}$，$\therefore BG = 2$，$AG = 2\sqrt{3}$，
$\therefore GF = BG + BF = 2 + 4 = 6$。
在$Rt\triangle AGF$中，由勾股定理，得$AF = \sqrt{AG^{2}+GF^{2}} = \sqrt{(2\sqrt{3})^{2}+6^{2}} = 4\sqrt{3}$，$\therefore AF + AB = 4\sqrt{3} + 4$，即$\triangle ABD$周长的最小值为$4\sqrt{3} + 4$。