《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

8.(东部新区期末)如图,$\triangle ABC的周长是4+2\sqrt {6},AB= 4,AC= \sqrt {6}+\sqrt {2}$.在$AB边上取一点D$,使$CD= AD$,过点$D作DE⊥AB交∠ACB的平分线于点E$.
(1)$\triangle ABC$是直角三角形吗? 请证明你的结论;
(2)求$\triangle CDE$的面积.

答案：
8. 解:
(1)$\triangle ABC$是直角三角形.证明如下:
∵$BC=(4 + 2\sqrt{6}) - 4 - (\sqrt{6}+\sqrt{2})=\sqrt{6}-\sqrt{2}$，
∴$BC^{2}+AC^{2}=(\sqrt{6}-\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{6}+\sqrt{2})^{2}=16$.
∵$AB^{2}=4^{2}=16$，
∴$BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}$，
∴$\triangle ABC$是直角三角形.
(2)如图，过点C作$CH⊥AB$于点H，连接EH.
∵$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CH$，
∴$CH = \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}=1$.
∵$∠ACB = ∠CHB = 90^{\circ}$，
∴$∠A + ∠B = 90^{\circ}$，$∠B + ∠HCB = 90^{\circ}$，
∴$∠A = ∠HCB$.
∵$AD = DC$，
∴$∠A = ∠DCA = ∠HCB$；
∵$∠A + ∠B = 90^{\circ}$，$∠ACD + ∠DCB = 90^{\circ}$，
∴$∠B = ∠DCB$，
∴$DC = DB = DA$.
∵$CE$平分$∠ACB$，
∴$∠ECA = ∠ECB$，
∴$∠ECD = ∠ECH$；
∵$ED⊥AB$，$CH⊥AB$，
∴$DE// CH$，
∴$∠DEC = ∠ECH = ∠DCE$，
∴$CD = DE$.
∵$AB = 4$，
∴$CD = AD = DE = 2$，
∴$DH = \sqrt{CD^{2}-CH^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$
∴$CH// DE$，
∴$S_{\triangle CDE}=S_{\triangle DEH}=\frac{1}{2}DE\cdot DH=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$.

9.(师大一 中)在$\triangle ABC$中,$BC= a,AC= b,AB= c$,设$c$为最长边,当$a^{2}+b^{2}= c^{2}$时,$\triangle ABC$是直角三角形;当$a^{2}+b^{2}≠c^{2}$时,利用代数式$a^{2}+b^{2}和c^{2}$的大小关系,探究$\triangle ABC$的形状(按角分类).
(1)当$\triangle ABC$的三边长分别为6,8,9时,$\triangle ABC$为锐角三角形;当$\triangle ABC$的三边长分别为6,8,11时,$\triangle ABC$为钝角三角形.
(2)猜想:当$a^{2}+b^{2}$＞$c^{2}$时,$\triangle ABC$为锐角三角形;当$a^{2}+b^{2}$＜$c^{2}$时,$\triangle ABC$为钝角三角形.
(3)当$a= 2,b= 4$时,判断$\triangle ABC$的形状,并求出对应的$c$的取值范围.
解：∵c为最长边，a=2，b=4，2+4=6，
∴4≤c＜6，a²+b²=2²+4²=20.
①当a²+b²＞c²，即c²＜20时，c＜2√5，
∴当4≤c＜2√5时，△ABC是锐角三角形；
②当a²+b²=c²，即c²=20时，c=2√5，
∴当c=2√5时，△ABC是直角三角形；
③当a²+b²＜c²，即c²＞20时，c＞2√5，
∴当2√5＜c＜6时，△ABC是钝角三角形.

答案：
(1)锐角 钝角
(2)＞ ＜
(3)解：
∵c为最长边，a=2，b=4，2+4=6，
∴4≤c＜6，a²+b²=2²+4²=20.
①当a²+b²＞c²，即c²＜20时，c＜2√5，
∴当4≤c＜2√5时，△ABC是锐角三角形；
②当a²+b²=c²，即c²=20时，c=2√5，
∴当c=2√5时，△ABC是直角三角形；
③当a²+b²＜c²，即c²＞20时，c＞2√5，
∴当2√5＜c＜6时，△ABC是钝角三角形.