《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

7. (武侯区期末)如图,已知直线$l_{1}:y = x + 2与直线l_{2}:y = - kx + 4(k \neq 0)相交于点F$,直线$l_{1}$,$l_{2}分别交x轴于点E$,$G$。长方形$ABCD的顶点C$,$D分别在直线l_{2}和y$轴上,顶点$A$,$B都在x$轴上,且点$B与点E$重合,点$A与点O$重合,长方形$ABCD的面积是12$。
(1)求$k$的值。
(2)求证：$\triangle EFG$是等腰直角三角形。
(3)若长方形$ABCD$从原地出发,沿$x轴正方向以每秒1$个单位长度的速度平移,设移动时间为$t$秒,长方形$ABCD与\triangle EFG重叠部分的面积为S$。
①当$0 \leq t \leq 1$时,求$S$的最大值；
②当$1 \lt t \leq 4$时,直接写出$S与t$之间的函数关系式。(要求写出自变量$t$的取值范围)

答案：
7.
(1)解:由$y = x + 2$，得$E(-2,0)$，
∴$AB = OE = 2$.
∵$S_{长方形ABCD}=12$，
∴$AB×OD = 12$，
∴$OD = 6$，
∴$C(-2,6)$.
∵$l_{2}:y=-kx + 4$，
∴$2k + 4 = 6$，
∴$k = 1$.
(2)证明:如图1，由直线$l_{1}$，$l_{2}$的解析式，得$M(0,2)$，$N(0,4)$，$G(4,0)$，
∴$OM = 2 = OE$，$ON = OG = 4$，
∴$\angle OEM=\angle OGN = 45^{\circ}$，
∴$\angle EFG = 90^{\circ}$，$EF = GF$，
∴$\triangle EFG$为等腰直角三角形.
　
(3)解:①由题意，得$F(1,3)$.如图2，$BC$，$AD$分别与直线$l_{1}$交于点$P$，$Q$.由题知$BE = t$，
∴$BP = t$，$AE = t + 2$，
∴$AQ = t + 2$，
∴$S = S_{梯形ABPQ}=\frac{1}{2}(t + t + 2)×2 = 2t + 2$.
∵$0\leq t\leq1$，
∴$t = 1$时，$S_{最大}=2×1 + 2 = 4$.
　②当$1＜t\leq3$时，$S=-t^{2}+4t + 1$；当$3＜t\leq4$时，$S=-2t + 10$.综上，$S=\begin{cases}-t^{2}+4t + 1(1＜t\leq3)\\-2t + 10(3＜t\leq4)\end{cases}$