《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

3. (高新区期末)某单位准备购买一种水果,现有甲、乙两家超市搞促销活动,该水果在两家超市的标价均为13元/千克.甲超市购买该水果的费用y(元)与该水果的质量x(千克)之间的关系如图所示,乙超市的该水果在标价的基础上每千克直降3元.
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)现计划用290元购买该水果,选甲、乙哪家超市能购买该水果更多一些?

答案： 解:
(1) 当 $ 0 \leq x \leq 5 $ 时，设 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式为 $ y = kx (k \neq 0) $，
把 $ (5,65) $ 代入表达式，得 $ 5k = 65 $，解得 $ k = 13 $，
∴ $ y = 13x $.
当 $ x ＞ 5 $ 时，设 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式为 $ y = mx + n (m \neq 0) $，
把 $ (5,65) $ 和 $ (10,110) $ 代入表达式，得 $ \begin{cases} 5m + n = 65, \\ 10m + n = 110, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} m = 9, \\ n = 20, \end{cases} $
∴ $ y = 9x + 20 $.
综上所述，$ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式为 $ y = \begin{cases} 13x (0 \leq x \leq 5), \\ 9x + 20 (x ＞ 5). \end{cases} $
(2) 在甲超市购买: $ 9x + 20 = 290 $，解得 $ x = 30 $，
∴ 在甲超市 290 元可以购买 30 千克该水果.
在乙超市购买: $ (13 - 3)x = 290 $，解得 $ x = 29 $，
∴ 在乙超市 290 元可以购买 29 千克该水果.
∵ $ 30 ＞ 29 $，
∴ 在甲超市能购买该水果更多一些.

4. (青羊区期末)某校英语组组织学生进行“英语美食节”活动,需购买甲、乙两种奖品.老师发现购买甲奖品4个和乙奖品3个,需用去128元;购买甲奖品5个和乙奖品4个,需用去164元.
(1)请用列二元一次方程组的方法,求甲、乙两种奖品的单价各是多少元.
(2)由于临时有变,只买甲奖品即可,刚好A,B两个商场对甲奖品搞促销活动,其中A商场,按原价9折销售;B商场,购买不超过6个按原价销售,超出6个的部分按原价的6折销售.学校需要购买x个甲奖品$(x＞6)$,设在A商场购买x个甲奖品需要$y_{1}$元,在B商场购买x个甲奖品需要$y_{2}$元,请用x分别表示出$y_{1}和y_{2}$.
(3)在(2)的条件下,问:去哪个商场购买奖品更省钱?

答案： 解:
(1) 设甲、乙两种奖品的单价分别是 $ a $ 元、$ b $ 元. 由题意，得 $ \begin{cases} 4a + 3b = 128, \\ 5a + 4b = 164, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} a = 20, \\ b = 16. \end{cases} $
故甲、乙两种奖品的单价分别是 20 元、16 元.
(2) 由题意可得，$ y_1 = 20x × 0.9 = 18x $，
$ y_2 = 20 × 6 + 20(x - 6) × 0.6 = 12x + 48 $.
(3) 令 $ 18x = 12x + 48 $，解得 $ x = 8 $;
令 $ 18x ＞ 12x + 48 $，解得 $ x ＞ 8 $;
令 $ 18x ＜ 12x + 48 $，解得 $ x ＜ 8 $.
答: 当购买的奖品少于 8 个时，选择 A 商场更省钱；当购买的奖品为 8 个时，A，B 两个商场消费一样；当购买的奖品多于 8 个时，选择 B 商场更省钱.