《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

3. (锦江区期末)在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$CE = CD = BC(CE \geq CA)$,$\angle ACB + \angle ECD = 180^{\circ}$,$P$ 为直线 $DE$ 上一点,且 $PB = PD$。
(1) 如图 1,点 $D$ 在线段 $BC$ 的延长线上,若 $\angle ACB = 50^{\circ}$,求 $\angle ABP$ 的度数；
(2) 如图 2,$\triangle ABC$ 与 $\triangle CDE$ 在图示位置时,求证：$BP$ 平分 $\angle ABC$；
(3) 如图 3,若 $\angle ABC = 60^{\circ}$,$AB = 4$,将图 3 中的 $\triangle CDE$ (从 $CE$ 与 $CA$ 重合时开始) 绕点 $C$ 按顺时针方向旋转一周,且点 $B$ 与点 $D$ 不重合,当 $\triangle EPC$ 为等腰三角形时,求 $BE^{2}$ 的值。

答案：

(1)解:
∵点 $D$ 在线段 $BC$ 的延长线上,且 $\angle ACB + \angle ECD = 180^{\circ}$,
∴$\angle ACB$ 与 $\angle ECD$ 互为邻补角,
∴点 $E$,$A$,$C$ 共线.
∵$AB = AC$,$\angle ACB = 50^{\circ}$,
∴$\angle ABC = \angle ACB = 50^{\circ}$,$\angle ECD = 180^{\circ} - \angle ACB = 130^{\circ}$.
∵$CE = CD$,
∴$\angle CED = \angle CDE = 25^{\circ}$.
∵$PB = DP$,
∴$\angle PBD = \angle PDB = 25^{\circ}$,
∴$\angle ABP = \angle ABC - \angle PBD = 25^{\circ}$.
(2)如图 1,连接 $BD$.
∵$CB = CD$,$PB = PD$,
∴$\angle CBD = \angle CDB$,$\angle PBD = \angle PDB$,
∴$\angle PBC = \angle PDC$.
∵$CE = CD$,
∴$\angle CED = \angle CDE = \angle PBC$.
∵$\angle ACB + \angle ECD = 180^{\circ}$,$\angle ECD + \angle CED + \angle CDE = 180^{\circ}$,
∴$\angle ACB = 2\angle EDC = 2\angle PBC$.
∵$AB = AC$,
∴$\angle ABC = \angle ACB$,
∴$\angle ABC = 2\angle PBC$,
∴$\angle ABP = \angle PBC$,
∴$BP$ 平分 $\angle ABC$.


(3)如图 2,当点 $A$ 与点 $E$ 重合时,
∵$\angle ABC = 60^{\circ}$,$AC = AB = 4$,
∴$\triangle ABC$ 是等边三角形,
∴$\angle ABC = \angle ACB = \angle BAC = 60^{\circ}$.
∵$AC = CD$,
∴$\angle CAD = \angle CDA = 30^{\circ}$.
∵$PB = PD$,
∴$\angle PBD = \angle PDB = 30^{\circ}$,
∴$\angle ABP = \angle PBC = 30^{\circ}$.
∵$\triangle ABC$ 是等边三角形,
∴$BP$ 是 $EC$ 的垂直平分线,
∴$EP = PC$,
∴$\triangle EPC$ 是等腰三角形,
∴$BE^{2} = AB^{2} = 16$.
如图 3,当 $EC = EP$ 时,过点 $E$ 作 $EH \perp BP$ 于点 $H$,连接 $BE$.
∵$PB = PD$,$CB = CD$,
∴$PC \perp BD$,$PC$ 平分 $\angle BPD$.
由题易得 $\angle CED = 30^{\circ}$.
∵$\angle CED = \angle ECP + \angle EPC$,$\angle ECP = \angle EPC$,
∴$\angle ECP = \angle EPC = 15^{\circ}$,
∴$\angle BPC = \angle EPC = 15^{\circ}$,
∴$\angle EPH = 30^{\circ}$,易得 $EH = \frac{1}{2}PE = 2$,$PH = 2\sqrt{3}$.
由题易得 $DE = 4\sqrt{3}$,
∴$PB = PD = 4 + 4\sqrt{3}$,
∴$BH = PB - PH = 4 + 4\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 4 + 2\sqrt{3}$,
∴$BE^{2} = EH^{2} + BH^{2} = 2^{2} + (4 + 2\sqrt{3})^{2} = 32 + 16\sqrt{3}$.


如图 4,当 $EC = EP$ 时,连接 $BE$,作 $BT \perp EC$ 于点 $T$.
∵$\angle ABC = 60^{\circ} = \angle ACB$,$\angle ACB + \angle ECD = 180^{\circ}$,
∴$\angle ECD = 120^{\circ}$.
∵$CD = CE$,
∴$\angle CEP = 30^{\circ}$,
∴$\angle ECP = \angle EPC = 75^{\circ}$,
∴$\angle DCP = 45^{\circ}$.
∵$PB = PD$,$CB = CD$,
∴$PC$ 垂直平分 $BD$,
∴$CP$ 平分 $\angle BCD$,
∴$\angle PCB = \angle DCP = 45^{\circ}$,
∴$\angle BCT = 30^{\circ}$,
易得 $BT = \frac{1}{2}BC = 2$,$CT = 2\sqrt{3}$,
∴$ET = 4 - 2\sqrt{3}$,
∴$BE^{2} = BT^{2} + ET^{2} = 2^{2} + (4 - 2\sqrt{3})^{2} = 32 - 16\sqrt{3}$.
综上所述,$BE^{2}$ 的值为 $16$ 或 $32 + 16\sqrt{3}$ 或 $32 - 16\sqrt{3}$.