《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

6.(石室联中)一个动点在第一象限及$x$轴、$y$轴上运动,在第一秒钟,它从原点$(0,0)运动到点(0,1)$,然后接着按图中箭头所示方向运动(即$(0,0)\to(0,1)\to(1,1)\to(1,0)…\to$),且每秒移动$1$个单位长度,那么第$100$秒时动点所在位置的坐标是______.

(10,0)

答案： 解：通过观察动点运动规律可得：
3秒时到了$(1,0)$，
8秒时到了$(0,2)$，
15秒时到了$(3,0)$，
24秒时到了$(0,4)$，
35秒时到了$(5,0)$，
48秒时到了$(0,6)$，
63秒时到了$(7,0)$，
80秒时到了$(0,8)$，
99秒时到了$(9,0)$，
100秒时到了$(10,0)$。
$(10,0)$

7.(树德实验)如图,等边三角形$ABC的顶点A(1,1)$,$B(3,1)$,规定把等边三角形$ABC先沿x$轴翻折,再向左平移$1$个单位长度为一次变换,如果这样连续经过$2016$次变换后,等边三角形$ABC中顶点C$的坐标为______.

(-2014,√3+1)

答案： 解：
∵△ABC是等边三角形，A(1,1)，B(3,1)，
∴AB=3-1=2，AB中点横坐标为(1+3)/2=2，
点C到AB的距离为2×(√3/2)=√3，
∵AB在直线y=1上，且点C在AB上方，
∴点C的坐标为(2,1+√3)。
每次变换：沿x轴翻折后，点C纵坐标变为-(1+√3)；向左平移1个单位，横坐标减1。
第二次变换：沿x轴翻折后，点C纵坐标变回1+√3；向左平移1个单位，横坐标再减1。
即每2次变换，纵坐标回到初始值1+√3，横坐标共减2。
2016次变换包含2016/2=1008个周期，
横坐标变化：2 - 2016×1= -2014，
纵坐标为1+√3，
∴经过2016次变换后，顶点C的坐标为(-2014,√3+1)。
答案：(-2014,√3+1)

8.(实外)如图,在平面直角坐标系中,有若干个整数点,其顺序按图中的“$\to$”方向排列,如$(1,0)$,$(2,0)$,$(2,1)$,$(3,2)$,$(3,1)$,$(3,0)$,…$$,根据这个规律探究可得,第$200$个点的坐标为______.

$(20,10)$

答案： 观察图形可知，每列点的个数依次为1，2，3，…，且偶数列点由下往上排列。
因为$1 + 2 + 3 + \cdots + 20 = \frac{20×(1 + 20)}{2} = 210$，
所以前20列共有210个点，第200个点是第20列从下往上数第$210 - 200 = 10$个点。
因此，第200个点的坐标为$(20, 10)$。
答案：$(20,10)$

1. (西川)如图,点A的坐标是(2,2),若点P在x轴上,且△APO是等腰三角形,则点P的坐标不可能是 (D)

A.(2,0)
B.(4,0)
C.(-2√{2},0)
D.(3,0)

答案： D[解析]如图，点A的坐标是(2,2),根据勾股定理可得OA=2$\sqrt{2}$,①若AP=PO,则P(2,0);②若AO=AP,则P(4,0);③若AO=OP,则P(2$\sqrt{2}$,0)或(−2$\sqrt{2}$,0).故点P的坐标不可能是(3,0).

2. (实外西区)如图,平面直角坐标系中有两点A(0,2),B(2√{3},0),在坐标轴上找一点P,使△PAB是等腰三角形.
(1)请问有几个这样的点P? 6个.
(2)这样的点P的坐标分别为(-2√3,0),(4+2√3,0),(-4+2√3,0),(2√3/3,0),(0,-2),(0,6).

答案：
(1)6个
(2)
- 当点P在x轴上时：
以AB为腰，PA=AB，计算得P(-2√3,0)；
以AB为腰，PB=AB，计算得P(4+2√3,0)；
以AB为底边，PA=PB，计算得P(-4+2√3,0)；
以AB为腰，PA=AB，计算得P(2√3/3,0)。
- 当点P在y轴上时：
以AB为腰，PA=AB，计算得P(0,-2)；
以AB为腰，PB=AB，计算得P(0,6)。
坐标分别为：(-2√3,0),(4+2√3,0),(-4+2√3,0),(2√3/3,0),(0,-2),(0,6)