《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

5. (天府新区期末)如图 1, 在平面直角坐标系 $ x O y $ 中, 直线 $ l_1: y= 2 x $ 与直线 $ l_2 $ 交于点 $ A\left(\frac{4}{3}, m\right) $, 直线 $ l_2 $ 与 $ x $ 轴、 $ y $ 轴分别交于点 $ B, C, \triangle A O B $ 的面积为 $ \frac{16}{3} $.
(1) 求直线 $ l_2 $ 的表达式.
(2) 如图 2, 过点 $ D(1,0) $ 作直线分别交直线 $ l_1, l_2 $ 于点 $ E $ (点 $ E $ 在第三象限), $ F $.
① 连接 $ A D $, 设 $ \triangle A D E $ 的面积为 $ S_1, \triangle A D F $ 的面积为 $ S_2 $, 若 $ \frac{S_1}{S_2}= \frac{1}{2} $, 求点 $ E $ 的坐标;
② 当 $ \triangle A E F $ 的面积最小时, 求点 $ E $ 的坐标.

答案：
解:
(1)$\because$ 点$A(\frac{4}{3},m)$在直线$y = 2x$上,$\therefore m = 2× \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$,$\therefore A(\frac{4}{3},\frac{8}{3})$.
如图$1$,过点$A$作$AG⊥x$轴于点$G$,则$AG = \frac{8}{3}$.

$\because \triangle AOB$的面积为$\frac{16}{3}$,$\therefore \frac{1}{2}OB\cdot AG = \frac{16}{3}$,$\therefore OB = 4$,$\therefore B(4,0)$.
设直线$l_2:y = kx + b$,代入$A$,$B$两点的坐标,得$\begin{cases}4k + b = 0,\frac{4}{3}k + b = \frac{8}{3},\end{cases}$解得$\begin{cases}k = -1,\\b = 4,\end{cases}$ $\therefore$ 直线$l_2$的表达式为$y = -x + 4$.
(2)①$\because \frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{2}$,$\therefore \frac{ED}{DF} = \frac{1}{2}$.
如图$2$,取$DF$的中点$H$,过点$H$作$HJ⊥x$轴于点$J$,过点$F$作$FK⊥HJ$交$JH$的延长线于点$K$,过点$E$作$ET⊥x$轴于点$T$,$\therefore ED = DH = FH$,易证得$\triangle ETD≌\triangle HJD≌\triangle HKF$,$\therefore ET = HJ = HK$,$DT = DJ = FK$.

设点$E(t,2t)$,则$OT = -t$,$ET = HJ = HK = -2t$,$\therefore FK = DJ = DT = 1 - t$,$\therefore OD + DJ + FK = -2t + 3$,$\therefore F(-2t + 3,-4t)$.
$\because$ 点$F$在直线$l_2$上,$\therefore -(-2t + 3) + 4 = -4t$,解得$t = -\frac{1}{6}$,$\therefore E(-\frac{1}{6},-\frac{1}{3})$.
②如图$3$,过点$D$作两条直线$EF$和$E'F'$,其中$D$是$EF$的中点.

过点$F$作$FM// AE$交$E'F'$于点$M$,则$\triangle EE'D≌\triangle FMD$,
$\therefore S_{\triangle AE'F'} - S_{\triangle AEF} = S_{\triangle ME'F'}$,$\therefore$ 当$D$是$EF$的中点时,$\triangle AEF$的面积最小.
过点$F$作$FP⊥x$轴于点$P$,过点$E$作$EQ⊥x$轴于点$Q$,则$\triangle EQD≌\triangle FPD$,$\therefore FP = EQ$,$DP = DQ$.
设点$E(t,2t)$,则$FP = EQ = -2t$,$DP = DQ = 1 - t$,$\therefore OP = OD + DP = 2 - t$,$\therefore F(2 - t,-2t)$.将点$F$的坐标代入$y = -x + 4$中,得$-2t = -(2 - t) + 4$,解得$t = -\frac{2}{3}$,$\therefore E(-\frac{2}{3},-\frac{4}{3})$.