《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

3. (师大一中)已知方程组$\left\{\begin{array}{l} x-2y= -1,\\ x+2y= n\end{array} \right. 和\left\{\begin{array}{l} x+y= m,\\ x-y= 2\end{array} \right. $的解相同,则$n-m= $3.

答案： 解：联立方程组$\left\{\begin{array}{l} x - 2y = -1 \\ x + y = m \\ x - y = 2 \end{array}\right.$（此处原解析有误，应为联立两个方程组中不含$m,n$的方程$\left\{\begin{array}{l} x - 2y = -1 \\ x - y = 2 \end{array}\right.$）
解$\left\{\begin{array}{l} x - 2y = -1 \\ x - y = 2 \end{array}\right.$，用第二个方程减第一个方程得：$(x - y) - (x - 2y) = 2 - (-1)$，即$y = 3$。
将$y = 3$代入$x - y = 2$，得$x = 5$。
把$x = 5$，$y = 3$代入$x + 2y = n$，得$n = 5 + 2×3 = 11$。
把$x = 5$，$y = 3$代入$x + y = m$，得$m = 5 + 3 = 8$。
所以$n - m = 11 - 8 = 3$。
3

4. (成外)若关于$x,y的方程组\left\{\begin{array}{l} 3x-y= 5,\\ 4ax+5by= -22\end{array} \right. 与\left\{\begin{array}{l} 2x+3y= -4,\\ ax-by= 8\end{array} \right. $有相同的解,则$(-a)^{b}= $____-8.

答案： 解：联立方程组$\begin{cases}3x - y = 5 \\2x + 3y = -4\end{cases}$
由$3x - y = 5$得$y = 3x - 5$，代入$2x + 3y = -4$，
$2x + 3(3x - 5) = -4$，
$2x + 9x - 15 = -4$，
$11x = 11$，
$x = 1$，
则$y = 3×1 - 5 = -2$。
将$x = 1$，$y = -2$代入$\begin{cases}4ax + 5by = -22 \\ax - by = 8\end{cases}$，
得$\begin{cases}4a - 10b = -22 \\a + 2b = 8\end{cases}$
由$a + 2b = 8$得$a = 8 - 2b$，代入$4a - 10b = -22$，
$4(8 - 2b) - 10b = -22$，
$32 - 8b - 10b = -22$，
$-18b = -54$，
$b = 3$，
则$a = 8 - 2×3 = 2$。
所以$(-a)^b = (-2)^3 = -8$。
$-8$

5. (新都区期末)已知关于$x,y的方程组\left\{\begin{array}{l} 5x+y= 3,\\ mx+5y= 4\end{array} \right. 与\left\{\begin{array}{l} x-2y= 5,\\ 5x+ny= 1\end{array} \right. $有相同的解,则$m^{2}-2mn+n^{2}=$144.

答案： 解：因为两个方程组有相同的解，所以联立$\left\{\begin{array}{l}5x + y = 3\\x - 2y = 5\end{array}\right.$
由$5x + y = 3$得$y = 3 - 5x$，代入$x - 2y = 5$，
$x - 2(3 - 5x) = 5$
$x - 6 + 10x = 5$
$11x = 11$
$x = 1$
将$x = 1$代入$y = 3 - 5x$，得$y = -2$
把$x = 1$，$y = -2$代入$mx + 5y = 4$，得$m - 10 = 4$，$m = 14$
代入$5x + ny = 1$，得$5 - 2n = 1$，$n = 2$
$m^2 - 2mn + n^2=(m - n)^2=(14 - 2)^2=144$
144

6. (天府新区期末)已知关于$x,y的方程组\left\{\begin{array}{l} 2x-3y= 3,\\ ax+by= -1\end{array} \right. 和\left\{\begin{array}{l} 3x+2y= 11,\\ 2a+3by= 4\end{array} \right. $的解相同,则$(3a+b)^{-a+b}+(-2b-3a)^{-a-b}$的值是-2.

答案： 解：因为两个方程组的解相同，所以联立不含a,b的方程：
$\begin{cases}2x - 3y = 3 \\3x + 2y = 11\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}x = 3 \\y = 1\end{cases}$
将$x=3,y=1$代入含a,b的方程：
$\begin{cases}3a + b = -1 \\2a + 3b = 4\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}a = -1 \\b = 2\end{cases}$
计算$3a + b = -3 + 2 = -1$，$-a + b = 1 + 2 = 3$，$-2b - 3a = -4 + 3 = -1$，$-a - b = 1 - 2 = -1$
则原式$=(-1)^3 + (-1)^{-1} = -1 - 1 = -2$
答案：-2

1.(实外)若关于$x,y的方程组\left\{\begin{array}{l} 3x+2y= m+3,\\ 2x-y= 2m-1\end{array} \right. $的解互为相反数,则$m$的值为 (C)
A.0
B.2
C.-10
D.-4

答案： 解：
解方程组$\left\{\begin{array}{l} 3x+2y=m+3,\\ 2x-y=2m-1,\end{array}\right.$
由$2x - y = 2m - 1$得$y=2x-2m+1$，代入$3x + 2y = m + 3$，
得$3x + 2(2x - 2m + 1)=m + 3$，
解得$x=m+\frac{1}{7}$，
代入$y=2x - 2m + 1$，得$y=-2m+\frac{9}{7}$。
∵解互为相反数，
∴$x + y = 0$，
即$(m+\frac{1}{7})+(-2m+\frac{9}{7})=0$，
解得$m=-10$。
答案：C

2.(师大一中)如果方程组$\left\{\begin{array}{l} 4x+3y= 7,\\ kx+(k-1)y= 3\end{array} \right. 的解x,y$的值相等,则$k$的值为______2.

答案： 解：因为方程组的解$x$，$y$的值相等，所以$x = y$。
将$x = y$代入$4x + 3y = 7$，得$4x + 3x = 7$，即$7x = 7$，解得$x = 1$，所以$y = 1$。
把$x = 1$，$y = 1$代入$kx + (k - 1)y = 3$，得$k×1 + (k - 1)×1 = 3$，即$k + k - 1 = 3$，$2k - 1 = 3$，$2k = 4$，解得$k = 2$。
2

3.(树德实验)已知关于$x,y的二元一次方程组\left\{\begin{array}{l} x+2y= m+10,\\ 2x-y= 2m\end{array} \right. $的解是斜边长为5的直角三角形的两直角边长,则$m=$1.

答案： 解：解方程组$\left\{\begin{array}{l} x + 2y = m + 10\\2x - y = 2m\end{array}\right.$
由$2x - y = 2m$得$y = 2x - 2m$，代入$x + 2y = m + 10$，
$x + 2(2x - 2m)=m + 10$
$x + 4x - 4m = m + 10$
$5x = 5m + 10$
$x = m + 2$
则$y = 2(m + 2)-2m = 4$
因为解是直角三角形两直角边，斜边长为5，
所以$x^{2}+y^{2}=5^{2}$，即$(m + 2)^{2}+4^{2}=25$
$(m + 2)^{2}=9$
$m + 2 = 3$或$m + 2=-3$
解得$m = 1$或$m=-5$
当$m=-5$时，$x=-5 + 2=-3$（边长不能为负，舍去）
故$m = 1$
1

4.(实外)已知关于$x,y的方程组\left\{\begin{array}{l} 2x-ay= 6,\\ 4x+y= 7\end{array} \right. $有整数解,即$x,y$都是整数,$a$是正整数,则$a$的值为_____2.

答案： 解：
$\begin{cases}2x - ay = 6&①\\4x + y = 7&②\end{cases}$
② - ①×2，得：
$4x + y - 2(2x - ay) = 7 - 2×6$
$4x + y - 4x + 2ay = 7 - 12$
$(1 + 2a)y = -5$
$y = -\dfrac{5}{1 + 2a}$
因为$x,y$是整数，$a$是正整数，所以$1 + 2a$是$-5$的正因数。
$-5$的正因数有$1,5$。
当$1 + 2a = 1$时，$2a = 0$，$a = 0$（不是正整数，舍去）；
当$1 + 2a = 5$时，$2a = 4$，$a = 2$。
此时$y = -\dfrac{5}{5} = -1$，代入②：$4x - 1 = 7$，$4x = 8$，$x = 2$（整数，符合题意）。
故$a = 2$。
答案：2

5.(锦江区期末)解关于$x,y的方程组\left\{\begin{array}{l} 3x+2y= 16k,\\ 5x-4y= -10k,\end{array} \right. 并求当解满足方程4x-3y= 21时的k$的值.

答案： 解：解方程组$\left\{\begin{array}{l} 3x + 2y = 16k,\\ 5x - 4y = -10k,\end{array}\right.$
$①×2$，得$6x + 4y = 32k$，$③$
$② + ③$，得$11x = 22k$，解得$x = 2k$
将$x = 2k$代入$①$，得$3×2k + 2y = 16k$，即$6k + 2y = 16k$，解得$y = 5k$
所以方程组的解为$\left\{\begin{array}{l} x = 2k,\\ y = 5k.\end{array}\right.$
因为解满足$4x - 3y = 21$，所以$4×2k - 3×5k = 21$
即$8k - 15k = 21$，$-7k = 21$，解得$k = -3$
答：$k$的值为$-3$。

6.(成外)已知$\left\{\begin{array}{l} x= 1,\\ y= m,\end{array} \right. \left\{\begin{array}{l} x= n,\\ y= 2\end{array} \right. 都是关于x,y的二元一次方程y= x+b$的解,且$m-n= b^{2}+2b-4$,求$b$的值.

答案： 解：因为$\left\{\begin{array}{l} x=1\\ y=m\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l} x=n\\ y=2\end{array}\right.$都是方程$y = x + b$的解，所以将其分别代入方程可得：
$m = 1 + b$，$2 = n + b$，即$n = 2 - b$。
因为$m - n = b^2 + 2b - 4$，所以$(1 + b) - (2 - b) = b^2 + 2b - 4$，
化简得：$1 + b - 2 + b = b^2 + 2b - 4$，
$2b - 1 = b^2 + 2b - 4$，
移项得：$b^2 = 3$，
解得$b = \pm\sqrt{3}$。
答：$b$的值为$\pm\sqrt{3}$。