《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

3. (成华区期末)如图,在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,直线 $ l_1 $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A(-4,0) $,与 $ y $ 轴交于点 $ B $,且与直线 $ l_2: y = \frac{9}{4}x $ 交于点 $ C $,点 $ C $ 的横坐标为 $ 2 $.
(1)求直线 $ l_1 $ 的解析式.
(2)在 $ x $ 轴上取一点 $ M $,过点 $ M $ 作 $ x $ 轴的垂线交直线 $ l_1 $ 于点 $ D $,交直线 $ l_2 $ 于点 $ E $. 若 $ DE = 2 $,求点 $ M $ 的坐标.
(3)在第二象限内,是否存在点 $ Q $,使得 $ \triangle QAB $ 为等腰直角三角形？若存在,请直接写出点 $ Q $ 的坐标；若不存在,请说明理由.

答案：
解:
(1)在$y = \frac{9}{4}x$中，令$x = 2$，得$y = \frac{9}{2}$，
∴$C(2,\frac{9}{2})$。
　设直线$l_1$的解析式为$y = kx + b$，把$A(-4,0)$，$C(2,\frac{9}{2})$代入，得$\begin{cases}-4k + b = 0\\2k + b = \frac{9}{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = \frac{3}{4}\\b = 3\end{cases}$，
∴直线$l_1$的解析式为$y = \frac{3}{4}x + 3$。
(2)如图1，设点$M(m,0)$，则点$D(m,\frac{3}{4}m + 3)$，$E(m,\frac{9}{4}m)$。

∵$DE = 2$，
∴$|\frac{3}{4}m + 3 - \frac{9}{4}m| = 2$，
∴$3 - \frac{3}{2}m = 2$或$3 - \frac{3}{2}m = -2$，解得$m = \frac{2}{3}$或$m = \frac{10}{3}$，
∴点M的坐标为$(\frac{2}{3},0)$或$(\frac{10}{3},0)$。
(3)存在。在$y = \frac{3}{4}x + 3$中，令$x = 0$，得$y = 3$，
∴$B(0,3)$。
分三种情况讨论:
①如图2，当B为直角顶点时，过点Q作$QH⊥y$轴于点H。

∵$△QAB$为等腰直角三角形，
∴$AB = QB$，$∠QBA = 90^{\circ}$，
∴$∠ABO = 90^{\circ}-∠QBH = ∠BQH$。
又
∵$∠AOB = 90^{\circ}=∠QHB$，
∴$△ABO≌△BQH(AAS)$，
∴$OA = BH = 4$，$OB = QH = 3$，
∴$OH = OB + BH = 7$，
∴点Q的坐标为$(-3,7)$。
②如图3，当A为直角顶点时，过点Q作$QT⊥x$轴于点T。

与①同理可得$△AQT≌△BAO(AAS)$，
∴$AT = OB = 3$，$QT = OA = 4$，
∴$OT = OA + AT = 7$，
∴点Q的坐标为$(-7,4)$。
　③如图4，当Q为直角顶点时，过点Q作$WG⊥y$轴于点G，过点A作$AW⊥WG$于点W。

　与①同理可得$△AQW≌△QBG(AAS)$，
∴$AW = QG$，$QW = BG$。
　设点$Q(p,q)$，
∴$\begin{cases}q = -p\\p - (-4) = q - 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}p = -\frac{7}{2}\\q = \frac{7}{2}\end{cases}$，
∴点Q的坐标为$(-\frac{7}{2},\frac{7}{2})$。
　综上所述，点Q的坐标为$(-3,7)$或$(-7,4)$或$(-\frac{7}{2},\frac{7}{2})$。