《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

5. (天府新区期末)如图 1,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$D$,$E$ 是斜边 $BC$ 上的两动点,且 $\angle DAE = 45^{\circ}$,将 $\triangle ABE$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ 后,得到 $\triangle ACF$,连接 $DF$。
(1) 求证：$\triangle AED \cong \triangle AFD$；
(2) 当 $BE = 3$,$CE = 9$ 时,求 $\angle BCF$ 的度数和 $DE$ 的长；
(3) 如图 2,$\triangle ABC$ 和 $\triangle ADE$ 都是等腰直角三角形,$\angle BAC = \angle DAE = 90^{\circ}$,$D$ 是斜边 $BC$ 所在直线上的一点,若 $BD = 3$,$BC = 8$,求 $DE$ 的长。

答案：

(1)证明:如图 1,由旋转的性质,得 $\triangle ABE \cong \triangle ACF$,
∴$AE = AF$,$\angle BAE = \angle CAF$.
∵$\angle BAC = 90^{\circ}$,$\angle DAE = 45^{\circ}$,
∴$\angle CAD + \angle BAE = \angle CAD + \angle CAF = 45^{\circ}$,
∴$\angle DAE = \angle DAF$. 又
∵$AD = AD$,$AE = AF$,
∴$\triangle AED \cong \triangle AFD$.

(2)解:如图 1,设 $DE = x$,则 $CD = 9 - x$.
∵$AB = AC$,$\angle BAC = 90^{\circ}$,
∴$\angle B = \angle ACB = 45^{\circ}$.
∵$\angle ACF = \angle ABE = 45^{\circ}$,
∴$\angle DCF = 90^{\circ}$,即 $\angle BCF = 90^{\circ}$.
∵$\triangle AED \cong \triangle AFD$,
∴$DE = DF = x$. 在 $Rt\triangle DCF$ 中,
∵$DF^{2} = CD^{2} + CF^{2}$,$CF = BE = 3$,
∴$x^{2} = (9 - x)^{2} + 3^{2}$,解得 $x = 5$,
∴$DE = 5$. 故 $\angle BCF$ 的度数为 $90^{\circ}$,$DE$ 的长为 $5$.
(3)解:①当点 $D$ 在线段 $BC$ 上时,如图 2,连接 $BE$.
∵$BD = 3$,$BC = 8$,
∴$CD = 5$.
∵$\angle BAC = \angle EAD = 90^{\circ}$,
∴$\angle EAB = \angle DAC$.
又
∵$AE = AD$,$AB = AC$,
∴$\triangle AEB \cong \triangle ADC$,
∴$\angle ABE = \angle C = \angle ABC = 45^{\circ}$,$EB = CD = 5$,
∴$\angle EBD = 90^{\circ}$,
∴$DE^{2} = BE^{2} + BD^{2} = 5^{2} + 3^{2} = 34$,即 $DE = \sqrt{34}$.


②当点 $D$ 在线段 $CB$ 的延长线上时,如图 3,连接 $BE$.
同法可证 $\triangle BDE$ 是直角三角形,且 $\angle DBE = 90^{\circ}$,$EB = CD = 11$,$BD = 3$,
∴$DE^{2} = EB^{2} + BD^{2} = 11^{2} + 3^{2} = 130$,即 $DE = \sqrt{130}$.
综上所述,$DE$ 的长为 $\sqrt{34}$ 或 $\sqrt{130}$.