《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

2. (高新区期末)如图,在平面直角坐标系中,直线$l_{1}:y= \frac{3}{4}x与直线l_{2}:y= kx+b相交于点A$,点$A的横坐标为4$,直线$l_{2}交y轴负半轴于点B$,且$OA= \frac{1}{2}OB$。
(1)求点$B的坐标及直线l_{2}$的函数表达式；
(2)现将直线$l_{1}沿y轴向上平移5$个单位长度,交$y轴于点C$,交直线$l_{2}于点D$,试求$\triangle BCD$的面积。

答案： 解:
(1)由已知易得A(4,3)，OA = 5，
∴OB = 10，
∴B(0,−10)，
∴$l_{2}:y=\frac{13}{4}x - 10$。
(2)平移后：$l_{3}:y=\frac{3}{4}x + 5$，
∴C(0,5)。联立方程$\begin{cases}y=\frac{3}{4}x + 5\\y=\frac{13}{4}x - 10\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 6\\y=\frac{19}{2}\end{cases}$，
∴$D(6,\frac{19}{2})$，
∴$S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}BC\cdot x_{D}=\frac{1}{2}×15×6 = 45$。

3. (嘉祥)如图,直线$l_{1}的解析式为y= \frac{4}{3}x+4$,与$x$轴、$y轴分别交于点A$,$B$,直线$l_{2}与x轴交于点C(2,0)$,与$y轴交于点D(0,\frac{3}{2})$,两直线交于点$P$。
(1)求点$A$,$B的坐标及直线l_{2}$的解析式；
(2)求证：$\triangle AOB\cong\triangle APC$；
(3)若将直线$l_{2}向右平移m$个单位长度,与$x$轴、$y轴分别交于点C'$,$D'$,使得以$A$,$B$,$C'$,$D'$四点为顶点的图形是轴对称图形,求$m$的值。

答案： 解：
(1)由已知易得B(0,4)，A(−3,0)，$l_{2}:y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$。
(2)证明：
∵$k_{l_{1}}\cdot k_{l_{2}}=-1$，
∴$l_{1}\perp l_{2}$，
∴∠APC = 90°=∠AOB。
∵A(−3,0)，B(0,4)，C(2,0)，
∴AB = 5，AC = 5，
∴AB = AC。又
∵∠BAO=∠CAP，
∴△AOB≌△APC(AAS)。
(3)解：平移后：$y=-\frac{3}{4}(x - m)+\frac{3}{2}$，
∴$C'(m + 2,0)$，$D'(0,\frac{3}{4}m+\frac{3}{2})$。①当点$D'$在点B下方时，要使该图形轴对称，则AB = AC'，即5 = m + 2 + 3，
∴m = 0（舍）。②当点$D'$在点B上方时，AB = BD'，
∴$D'(0,9)$，
∴m = 10。