《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

4. (西川)若 $\sqrt{x - 2} + (y + 1)^{2} = 0$,则 $(x + y)^{2020} = $1.

答案： 解：
∵$\sqrt{x - 2} \geq 0$，$(y + 1)^{2} \geq 0$，且$\sqrt{x - 2} + (y + 1)^{2} = 0$
∴$\sqrt{x - 2} = 0$，$(y + 1)^{2} = 0$
∴$x - 2 = 0$，$y + 1 = 0$
解得$x = 2$，$y = -1$
∴$x + y = 2 + (-1) = 1$
∴$(x + y)^{2020} = 1^{2020} = 1$
1

5. (嘉祥)已知 $\frac{\sqrt{y - 2x} + |x^{2} - 25|}{\sqrt{5 - x}} = 0$,则 $7(x + y) - 20$ 的立方根是______-5.

答案： 解：由题意得，分子$\sqrt{y - 2x} + |x^{2} - 25| = 0$，且分母$\sqrt{5 - x} \neq 0$。
因为$\sqrt{y - 2x} \geq 0$，$|x^{2} - 25| \geq 0$，所以$\sqrt{y - 2x} = 0$且$|x^{2} - 25| = 0$。
由$|x^{2} - 25| = 0$，得$x^{2} = 25$，解得$x = \pm 5$。
又因为$\sqrt{5 - x} \neq 0$，所以$5 - x ＞ 0$，即$x ＜ 5$，故$x = -5$。
由$\sqrt{y - 2x} = 0$，得$y - 2x = 0$，将$x = -5$代入，得$y = 2x = 2×(-5) = -10$。
则$7(x + y) - 20 = 7×(-5 + (-10)) - 20 = 7×(-15) - 20 = -105 - 20 = -125$。
$-125$的立方根是$-5$。
答案：$-5$

6. (石室联中)若 $|x^{2} - 4x + 4|$ 与 $\sqrt{2x - y - 3}$ 互为相反数,则 $x + y$ 的值为______3.

答案： 解：因为$|x^{2} - 4x + 4|$与$\sqrt{2x - y - 3}$互为相反数，所以$|x^{2} - 4x + 4| + \sqrt{2x - y - 3} = 0$。
又因为$|x^{2} - 4x + 4| \geq 0$，$\sqrt{2x - y - 3} \geq 0$，所以$x^{2} - 4x + 4 = 0$且$2x - y - 3 = 0$。
由$x^{2} - 4x + 4 = 0$，得$(x - 2)^{2} = 0$，解得$x = 2$。
将$x = 2$代入$2x - y - 3 = 0$，得$2×2 - y - 3 = 0$，解得$y = 1$。
所以$x + y = 2 + 1 = 3$。
3

7. (高新区期末)如果 $\sqrt{x + y} + (x - y + 6)^{2} = 0$,则 $2y - x$ 的平方根是______$\pm 3$.

答案： 解：因为$\sqrt{x + y} \geq 0$，$(x - y + 6)^{2} \geq 0$，且$\sqrt{x + y} + (x - y + 6)^{2} = 0$，所以$\begin{cases}x + y = 0 \\ x - y + 6 = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = -3 \\ y = 3\end{cases}$
则$2y - x = 2×3 - (-3) = 9$，$9$的平方根是$\pm 3$。
$\pm 3$

8. (树德实验)若 $a$,$b$ 为实数,且 $(a + \sqrt{3})^{2} + \sqrt{b - 2} = 0$,则 $a^{b}$ 的值为______3.

答案： 解：因为$(a + \sqrt{3})^{2} \geq 0$，$\sqrt{b - 2} \geq 0$，且$(a + \sqrt{3})^{2} + \sqrt{b - 2} = 0$，所以$a + \sqrt{3} = 0$，$b - 2 = 0$。解得$a = -\sqrt{3}$，$b = 2$。则$a^{b} = (-\sqrt{3})^{2} = 3$。
3

9. (锦江区期末)实数 $x$,$y$,$z$ 满足 $(x + 2)^{4} + |\frac{y}{2} + 3| + \sqrt{z + 2y} = 0$,则 $(z + y)^{x}$ 的值为______$\frac{1}{36}$.

答案： 解：因为$(x + 2)^{4} \geq 0$，$|\frac{y}{2} + 3| \geq 0$，$\sqrt{z + 2y} \geq 0$，且$(x + 2)^{4} + |\frac{y}{2} + 3| + \sqrt{z + 2y} = 0$，所以$x + 2 = 0$，$\frac{y}{2} + 3 = 0$，$z + 2y = 0$。
由$x + 2 = 0$，得$x = -2$；
由$\frac{y}{2} + 3 = 0$，得$\frac{y}{2} = -3$，$y = -6$；
将$y = -6$代入$z + 2y = 0$，得$z + 2×(-6) = 0$，$z - 12 = 0$，$z = 12$。
则$z + y = 12 + (-6) = 6$，所以$(z + y)^{x} = 6^{-2} = \frac{1}{6^{2}} = \frac{1}{36}$。
$\frac{1}{36}$

10. (成华区期末)若 $|x - 3| + \sqrt{x + 2y - 11} = 0$,则 $x^{2}y$ 的平方根是$\pm 6$.

答案： 解：因为$|x - 3| + \sqrt{x + 2y - 11} = 0$，且$|x - 3| \geq 0$，$\sqrt{x + 2y - 11} \geq 0$，所以$x - 3 = 0$，$x + 2y - 11 = 0$。
由$x - 3 = 0$，得$x = 3$。
将$x = 3$代入$x + 2y - 11 = 0$，得$3 + 2y - 11 = 0$，解得$2y = 8$，$y = 4$。
所以$x^2y = 3^2 × 4 = 9 × 4 = 36$。
因为$36$的平方根是$\pm 6$，所以$x^2y$的平方根是$\pm 6$。
$\pm 6$

11. (七中高新)已知实数 $a$,$b$ 满足 $\sqrt{a^{2} - 2a + 1} + b^{2} + 2b + 1 = 0$,则 $a^{2} + \frac{1}{a^{2}} - b = $3.

答案： 解：
∵$\sqrt{a^{2} - 2a + 1} + b^{2} + 2b + 1 = 0$
∴$\sqrt{(a - 1)^2} + (b + 1)^2 = 0$
∵$\sqrt{(a - 1)^2} \geq 0$，$(b + 1)^2 \geq 0$
∴$a - 1 = 0$，$b + 1 = 0$
解得$a = 1$，$b = -1$
则$a^{2} + \frac{1}{a^{2}} - b = 1^2 + \frac{1}{1^2} - (-1) = 1 + 1 + 1 = 3$
3

1. (实外)已知$x$,$y$都是实数,且$\sqrt{2x - 1} + \sqrt{1 - 2x} + y = 4$,则$xy$的值是______2.

答案： 要使根式有意义，则根号下的数须非负，即：
$\begin{cases}2x - 1 \geq 0 \\1 - 2x \geq 0\end{cases}$
解不等式组：
由$2x - 1 \geq 0$得$x \geq \frac{1}{2}$；由$1 - 2x \geq 0$得$x \leq \frac{1}{2}$，故$x = \frac{1}{2}$。
将$x = \frac{1}{2}$代入原式$\sqrt{2x - 1} + \sqrt{1 - 2x} + y = 4$，得：
$\sqrt{2×\frac{1}{2} - 1} + \sqrt{1 - 2×\frac{1}{2}} + y = 4$
即$\sqrt{0} + \sqrt{0} + y = 4$，解得$y = 4$。
所以$xy = \frac{1}{2} × 4 = 2$。
答案：2

2. (师大一中)若$\sqrt{x - \frac{1}{8}} + \sqrt{\frac{1}{8} - x}$有意义,则$\sqrt[3]{x} = $$\frac{1}{2}$.

答案： 要使$\sqrt{x - \frac{1}{8}} + \sqrt{\frac{1}{8} - x}$有意义，则$x - \frac{1}{8} \geq 0$且$\frac{1}{8} - x \geq 0$，解得$x = \frac{1}{8}$，所以$\sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$。
$\frac{1}{2}$

3. (青羊区期末)如果$y = \sqrt{5 - x} + \sqrt{x - 5} - 2$,那么$x^y$的值是______$\frac{1}{25}$.

答案： 要使二次根式有意义，则被开方数为非负数，可得：
$\begin{cases}5 - x \geq 0 \\x - 5 \geq 0\end{cases}$
解不等式组：
由$5 - x \geq 0$得$x \leq 5$；由$x - 5 \geq 0$得$x \geq 5$，所以$x = 5$。
将$x = 5$代入$y = \sqrt{5 - x} + \sqrt{x - 5} - 2$，得$y = 0 + 0 - 2 = -2$。
则$x^y = 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$。
$\frac{1}{25}$

4. (锦江区期末)已知$m$,$n$为实数,且$n - 3 + \sqrt{m - 2} = 3\sqrt{2 - m}$,则$\sqrt{mn} = $$\sqrt{6}$.

答案： 解：由二次根式有意义的条件得：
$m - 2 \geq 0$且$2 - m \geq 0$，
解得$m = 2$。
将$m = 2$代入原式得：$n - 3 + \sqrt{2 - 2} = 3\sqrt{2 - 2}$，
即$n - 3 = 0$，解得$n = 3$。
则$\sqrt{mn} = \sqrt{2×3} = \sqrt{6}$。
$\sqrt{6}$

5. (嘉祥)已知$a$,$b$都是实数,$b = \sqrt{1 - 2a} + \sqrt{6a - 3} - 3$,则$a^b$的值为______8.

答案： 要使根式有意义，则根号下的数须非负，可得：
$\begin{cases}1 - 2a \geq 0 \\6a - 3 \geq 0\end{cases}$
解第一个不等式：$1 - 2a \geq 0 \implies a \leq \frac{1}{2}$；
解第二个不等式：$6a - 3 \geq 0 \implies a \geq \frac{1}{2}$；
所以$a = \frac{1}{2}$。
将$a = \frac{1}{2}$代入$b = \sqrt{1 - 2a} + \sqrt{6a - 3} - 3$，可得：
$b = \sqrt{1 - 2×\frac{1}{2}} + \sqrt{6×\frac{1}{2} - 3} - 3 = \sqrt{0} + \sqrt{0} - 3 = -3$
则$a^b = \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8$。
答案：8

6. (七中育才)若$x$,$y$为实数,且$y = \frac{\sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{4 - x^2} + 1}{x + 2}$,则$\sqrt{x + y} \cdot \sqrt{x - y}$的值为______$\frac{3\sqrt{7}}{4}$.

答案： 解：由题意得，$x^2 - 4 \geq 0$且$4 - x^2 \geq 0$，则$x^2 = 4$，解得$x = \pm 2$。
又因为$x + 2 \neq 0$，所以$x \neq -2$，故$x = 2$。
将$x = 2$代入$y = \frac{\sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{4 - x^2} + 1}{x + 2}$，得$y = \frac{0 + 0 + 1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$。
则$\sqrt{x + y} \cdot \sqrt{x - y} = \sqrt{2 + \frac{1}{4}} \cdot \sqrt{2 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} \cdot \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{3\sqrt{7}}{4}$。
答案：$\frac{3\sqrt{7}}{4}$

7. (高新区期末)已知$\sqrt{(x - 1000)^2} + (\sqrt{998 - x})^2 = 2000$,$y = \sqrt{m + 8} + \sqrt{m - 1} + \sqrt{1 - m}$,则$y - x$的平方根为$\pm 2$.

答案： 解：由题意得，$998 - x \geq 0$，则$x \leq 998$。
$\sqrt{(x - 1000)^2} + (\sqrt{998 - x})^2 = |x - 1000| + (998 - x)$，
因为$x \leq 998$，所以$x - 1000 ＜ 0$，$|x - 1000| = 1000 - x$，
则$1000 - x + 998 - x = 2000$，
$-2x = 2$，解得$x = -1$。
对于$y = \sqrt{m + 8} + \sqrt{m - 1} + \sqrt{1 - m}$，
需满足$m - 1 \geq 0$且$1 - m \geq 0$，即$m = 1$，
则$y = \sqrt{1 + 8} + \sqrt{1 - 1} + \sqrt{1 - 1} = 3 + 0 + 0 = 3$。
$y - x = 3 - (-1) = 4$，
$4$的平方根为$\pm 2$。
故答案为：$\pm 2$。

8. (成外)已知$x$,$y$,$a满足\sqrt{x + y - 8} + \sqrt{8 - x - y} = \sqrt{3x - y - a} + \sqrt{x - 2y + a + 3}$,求长度分别为$x$,$y$,$a$的三条线段组成的三角形的面积.

答案： 解：根据二次根式有意义的条件，得
$\begin{cases}x + y - 8 \geq 0 \\ 8 - x - y \geq 0\end{cases}$
解得$x + y = 8$
$\therefore \sqrt{3x - y - a} + \sqrt{x - 2y + a + 3} = 0$
$\because \sqrt{3x - y - a} \geq 0$，$\sqrt{x - 2y + a + 3} \geq 0$
$\therefore \begin{cases}3x - y - a = 0 \\ x - 2y + a + 3 = 0\end{cases}$
又$\because x + y = 8$
联立方程组$\begin{cases}x + y = 8 \\ 3x - y = a \\ x - 2y = -a - 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 3 \\ y = 5 \\ a = 4\end{cases}$
$\because 3^2 + 4^2 = 5^2$
$\therefore$该三角形是直角三角形
$\therefore$面积为$\frac{1}{2}×3×4 = 6$
答：这个三角形的面积是$6$。