《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

1. (金牛区期末)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,已知直线$y= -x+4分别交x$轴、$y轴于点B$,$A$,直线$y= 2x+4分别交x$轴、$y轴于点C$,$A$。
(1)求线段$AC$的中点坐标；
(2)$M是直线AB$上一点,连接$CM$,若$\frac {S_{\triangle ACM}}{S_{\triangle ABC}}= \frac {3}{4}$,求点$M$的坐标；
(3)在(2)的条件下,若点$M$在第一象限内,以$M为顶点作∠CMP= 45^{\circ }$,射线$MP交x轴于点P$,求点$P$的坐标。

答案：
1.解:
(1)
∵直线y=-x+4分别交x轴、y轴于点B,A,直线y=2x+4分别交x轴、y轴于点C,A,
∴B(4,0),A(0,4),C(-2,0),
∴线段AC的中点坐标为(-1,2).
(2)设点N(m,-m+4),分情况讨论:①如图1,当点M在直线AC上方时,
∵SS△AACBMC=$\frac{3}{4}$,
∴$\frac{SBCM}{SABC}$=$\frac{7}{4}$.

∵B(4,0),A(0,4),C(-2,0),
∴BC=6,
∴SCM=$\frac{1}{2}$×6(-m+4),SABC=$\frac{1}{2}$×6×4=12,
∴$\frac{1}{2}$×6(-m+4)=$\frac{7}{4}$×12,解得m=-3,
∴点M的坐标为(-3,7).
②如图2,当点M在直线AC下方时,
∵$\frac{SACM}{SABC}$=34'...SSA△BBMC=$\frac{1}{4}$.

∵B(4,0),A(0,4),C(-2,0),
∴BC=6,
∴SBCM=$\frac{1}{2}$×6(-m+4),S△ABC=$\frac{1}{2}$×6×4=12,
∴$\frac{1}{2}$×6(-m+4)=$\frac{1}{4}$×12,解得m=3,
∴点M的坐标为(3,1).
综上所述,点M的坐标为(-3,7)或(3,1).
(3)如图3,过点C作CK⊥MP于点K,过点K作TR//x轴,过点C作CT⊥TR于点T,过点M作MR⊥TR于点R.

设点K(p,q),
∵∠CMP=45°,∠CKM=90°,
∴△CMK是等腰直角三角形,
∴∠MKR=90°-∠CKT=∠KCT,CK=MK.
∵∠R=∠T=90°,
∴MKR≌△KCT(AAS),
∴MR=TK,KR=CT;
∵点M的坐标为(3,1),C(-2,0),
∴{p+2=1-q,解得{p=1,
∴K(1,-2).
3-p=-q,q=-2,
由K(1,-2),M(3,1)得直线KM的解析式为y=$\frac{3}{2}$x-$\frac{7}{2}$,令y=0,得0=$\frac{3}{2}$x-$\frac{7}{2}$,解得x=$\frac{7}{3}$,
∴点P的坐标为($\frac{7}{3}$
(0).