《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

10. (锦江区期末)如图,在平面直角坐标系中,$\triangle ABC$在第二象限,且$A(-5,2)$,$B(-2,4)$,$C(-1,1)$.
(1)作出$\triangle ABC关于y轴对称的\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$,并写出点$B_{1}$,$C_{1}$的坐标;
(2)在$x轴上求作一点P$,使得$AP+BP$的值最小,并求出$AP+BP的最小值及点P$的坐标.

答案：
解:
(1)如图,$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$为所求作,$B_{1}(2,4)$,$C_{1}(1,1)$.
　　　　
(2)如图,点$P$为所求作. 作点$A$关于$x$轴的对称点$A'(-5,-2)$,连接$BA'$交$x$轴于点$P$,则$PA + PB = PA' + PB = BA'$,$\therefore$此时$AP + BP$的值最小.
$\because BA' = \sqrt{(-2 + 5)^{2} + (4 + 2)^{2}} = 3\sqrt{5}$,$\therefore AP + BP$的最小值为$3\sqrt{5}$,此时点$P$的坐标为$(-4,0)$.

1. (嘉祥)如图,在平面直角坐标系中,长方形 $ ABCO $ 的边 $ OA $ 在 $ x $ 轴上,边 $ OC $ 在 $ y $ 轴上,点 $ B $ 的坐标为 $ (1,3) $,将长方形沿对角线 $ AC $ 翻折,点 $ B $ 落在点 $ D $ 的位置,且 $ AD $ 交 $ y $ 轴于点 $ E $,那么点 $ D $ 的坐标为( )

A.$ \left( -\frac{4}{5},\frac{12}{5} \right) $
B.$ \left( -\frac{2}{5},\frac{13}{5} \right) $
C.$ \left( -\frac{1}{2},\frac{13}{5} \right) $
D.$ \left( -\frac{3}{5},\frac{12}{5} \right) $

答案：
A 【解析】如图,过点 D 作 $ DH \perp y $ 轴于点 H.
∵点 B 的坐标为 $(1,3)$,$\therefore AO = 1$,$AB = 3$. 由折叠的性质可得,$ CD = BC = 1 $,$ \angle BAC = \angle DAC $. 由 $ AB // CO $, 得 $ \angle BAC = \angle OCA $,$\therefore \angle DAC = \angle OCA $,$\therefore CE = AE $,$\therefore OE = DE $. 设 $ OE = x $, 则 $ CE = 3 - x $,$ DE = x $,$\therefore $ 在 $ Rt \triangle DCE $ 中,$ CE^{2} = DE^{2} + CD^{2} $,$\therefore (3 - x)^{2} = x^{2} + 1^{2} $,$\therefore x = \frac{4}{3} $,$\therefore DE = \frac{4}{3} $,$ CE = \frac{5}{3} $. 又$\because DH \perp CE $,$\therefore \frac{1}{2}CE × DH = \frac{1}{2}CD × DE $,$\therefore DH = \frac{CD × ED}{CE} = \frac{4}{5} $,$\therefore $ 在 $ Rt \triangle CDH $ 中, 由勾股定理, 得 $ CH = \frac{3}{5} $,$\therefore OH = 3 - \frac{3}{5} = \frac{12}{5} $.
∵点 D 在第二象限,$\therefore $ 点 D 的坐标为 $ (-\frac{4}{5}, \frac{12}{5}) $.