《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

1. (高新区期末)为了增强居民的节水意识,从2017年1月1日起,成都城区水价执行“阶梯式”计费,每月应交水费$y$(元)与用水量$x$(吨)之间的函数关系如图所示。若某用户5月份交水费18.05元,则该用户该月用水9吨。

答案： 解：设当 $ x \geq 8 $ 时，$ y = kx + b $。
将点 $ (8,15.2) $，$ (11,23.75) $ 代入，得
$\begin{cases} 8k + b = 15.2 \\ 11k + b = 23.75 \end{cases}$
解得 $\begin{cases} k = 2.85 \\ b = -7.6 \end{cases}$
$\therefore y = 2.85x - 7.6$
由题意，得 $ 2.85x - 7.6 = 18.05 $
解得 $ x = 9 $
答：该用户该月用水 9 吨。

2. (武侯区期末)某市为了鼓励居民在枯水期(当年11月至第二年5月)节约用电,规定7:00至23:00为用电高峰期,此期间用电电费$y_{1}$(单位：元)与用电量$x$(单位：度)之间满足的关系如图所示；规定23:00至第二天早上7:00为用电低谷期,此期间用电电费$y_{2}$(单位：元)与用电量$x$(单位：度)之间满足如表所示的一次函数关系。
(1)求$y_{2}与x$之间的函数关系式,并直接写出当$0\leqslant x\leqslant 180和x＞180$时,$y_{1}与x$之间的函数关系式；
(2)若市民王先生一家在12月份共用电350度,支付电费150元,求王先生一家在高峰期和低谷期各用电多少度。

答案：
(1)设$y_{2}$与$x$之间的函数关系式为$y_{2}=k_{2}x + b_{2}$，根据题意，得$\left\{\begin{array}{l}80k_{2}+b_{2}=20\\100k_{2}+b_{2}=25\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k_{2}=0.25\\b_{2}=0\end{array}\right.$，$\therefore y_{2}=0.25x$。
当$0\leqslant x\leqslant180$时，$y_{1}=\frac{90}{180}x = 0.5x$。
当$x＞180$时，设$y_{1}=k_{1}x + b_{1}$，根据题意，得$\left\{\begin{array}{l}180k_{1}+b_{1}=90\\280k_{1}+b_{1}=150\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k_{1}=0.6\\b_{1}=-18\end{array}\right.$，$\therefore y_{1}=0.6x - 18$。
综上，$y_{1}=\left\{\begin{array}{l}0.5x(0\leqslant x\leqslant180)\\0.6x - 18(x＞180)\end{array}\right.$。
(2)设王先生一家在高峰期用电$x$度，低谷期用电$y$度。
当$0\leqslant x\leqslant180$时，$\left\{\begin{array}{l}x + y=350\\0.5x + 0.25y=150\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=250\\y=100\end{array}\right.$（不合题意，舍去）。
当$x＞180$时，$\left\{\begin{array}{l}x + y=350\\0.6x - 18 + 0.25y=150\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=230\\y=120\end{array}\right.$。
答：王先生一家在高峰期用电230度，低谷期用电120度。

3. (成华区期末)某通讯公司就手机流量套餐推出$A$,$B$,$C$三种方案(如下表),三种方案每月所需的费用$y$(元)与每月使用的流量$x$(兆)之间的函数图象如图所示。
| |$A$方案|$B$方案|$C$方案|
|每月基本费用(元)|20|56|266|
|每月免费使用流量(兆)|1024|$m$|无限|
|超出后每兆收费(元)|$n$|$n$| |
结合表格和图象解答下列问题：
(1)填空：表中$m=$3072,$n=$0.3；
(2)在$A$方案中,当每月使用的流量不少于1024兆时,求每月所需的费用$y$(元)与每月使用的流量$x$(兆)之间的函数关系式；
设在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，函数关系式为$y = kx + b(k \neq 0)$。
把$(1024, 20)$，$(1144, 56)$代入，得$\begin{cases}1024k + b = 20 \\1144k + b = 56\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k = 0.3 \\b = -287.2\end{cases}$，
$\therefore y = 0.3x - 287.2(x \geq 1024)$
(3)在这三种方案中,当每月使用的流量超过多少兆时,选择$C$方案最划算？
在B方案中，当每月使用的流量不少于3072兆时，$y = 56 + 0.3(x - 3072)$。
令$56 + 0.3(x - 3072) = 266$，
解得$x = 3772$。
当每月使用的流量超过3772兆时，选择C方案最划算。

答案：
(1)3072；0.3
(2)设在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，函数关系式为$y = kx + b(k \neq 0)$。
把$(1024, 20)$，$(1144, 56)$代入，得$\begin{cases}1024k + b = 20 \\1144k + b = 56\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k = 0.3 \\b = -287.2\end{cases}$，
$\therefore y = 0.3x - 287.2(x \geq 1024)$
(3)在B方案中，当每月使用的流量不少于3072兆时，$y = 56 + 0.3(x - 3072)$。
令$56 + 0.3(x - 3072) = 266$，
解得$x = 3772$。
当每月使用的流量超过3772兆时，选择C方案最划算。