《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

1.(七中育才)若一等腰三角形的底边长为12,底边上的中线长为8,则它的腰长为 (C)
A.6
B.8
C.10
D.$3\sqrt{2}$

答案： 解：
∵等腰三角形底边上的中线垂直于底边（三线合一），
∴底边上的中线将等腰三角形分为两个全等的直角三角形，
其中直角边分别为底边的一半（12÷2=6）和中线长（8），斜边为腰长。
由勾股定理得：腰长 = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10。
答案：C

2.(成华区期末)若一直角三角形两条直角边的长分别为6和8,则它斜边上的高是 (D)
A.5
B.10
C.$\frac{12}{5}$
D.$\frac{24}{5}$

答案： 解：设直角三角形斜边上的高为$h$。
根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{6^{2} + 8^{2}}=\sqrt{36 + 64}=\sqrt{100}=10$。
三角形面积为$\frac{1}{2}×6×8 = 24$，也等于$\frac{1}{2}×10× h$。
则$\frac{1}{2}×10× h=24$，解得$h=\frac{24}{5}$。
D

3.(武侯区期末)如图,等边$\triangle ABC$的边长为2,AD是BC边上的高,则高AD的长为 (C)
A.1
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.2

答案： 解：
∵△ABC是等边三角形，边长为2，AD是BC边上的高
∴BD=DC=1，∠ADB=90°
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
AD² + BD² = AB²
AD² + 1² = 2²
AD² = 4 - 1 = 3
∴AD = √3
C

4.(成华区期末)如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.若直角三角形的较长直角边为a,较短直角边为b,且$ab= 8$,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为______.

3

答案： 解：
∵直角三角形较长直角边为$a$，较短直角边为$b$，
∴大正方形边长为直角三角形斜边，面积为$a^2 + b^2 = 25$。
又
∵$ab = 8$，
∴$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 25 - 2×8 = 9$。
∵$a ＞ b$，
∴$a - b = 3$，即小正方形边长为$3$。
3

5.(嘉祥)如果一个直角三角形的两边长分别是3,4,那么这个直角三角形斜边上的高的最小值为______$\frac{3\sqrt{7}}{4}$.

答案： 解：
情况一：当3和4为直角边时，
斜边$c=\sqrt{3^2 + 4^2}=5$，
设斜边上的高为$h_1$，
由面积相等得$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× h_1$，
解得$h_1=\frac{12}{5}=2.4$。
情况二：当4为斜边，3为直角边时，
另一直角边$b=\sqrt{4^2 - 3^2}=\sqrt{7}$，
设斜边上的高为$h_2$，
由面积相等得$\frac{1}{2}×3×\sqrt{7}=\frac{1}{2}×4× h_2$，
解得$h_2=\frac{3\sqrt{7}}{4}\approx1.984$。
比较$h_1$和$h_2$，$\frac{3\sqrt{7}}{4}＜\frac{12}{5}$，
故斜边上的高的最小值为$\frac{3\sqrt{7}}{4}$。
$\frac{3\sqrt{7}}{4}$

6.(锦江区期末)如图,已知等边$\triangle ABC$中,$AB= 2$,等腰$Rt\triangle ABD$中,$\angle ABD= 90^{\circ}$,延长AC,BD交于点E,连接CD,则$CD= $√6-√2.

答案： 解：
∵△ABC是等边三角形，AB=2，
∴AB=BC=AC=2，∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°．
∵△ABD是等腰直角三角形，∠ABD=90°，
∴AB=BD=2，∠BAD=∠ADB=45°．
延长AC、BD交于点E，设BE=x，在Rt△ABE中，∠BAE=60°，
tan∠BAE=BE/AB，即tan60°=x/2，解得x=2√3，
∴DE=BE-BD=2√3-2．
在△BCD中，BC=2，BD=2，∠CBD=∠ABC=60°（
∵∠ABD=90°，∠ABC=60°，故∠CBD=30°？此处修正：∠ABD=90°，∠ABC=60°，则∠CBD=∠ABD-∠ABC=30°）．
由余弦定理：CD²=BC²+BD²-2·BC·BD·cos∠CBD，
即CD²=2²+2²-2×2×2×cos30°=4+4-8×(√3/2)=8-4√3．
又CD²=8-4√3=(√6-√2)²，
∴CD=√6-√2．
答案：√6-√2

7.(双流区期末)如图,在$\triangle ABC$中,CE是AB边上的中线,$CD\perp AB$于点D,且$AB= 5$,$BC= 4$,$AC= 6$,则DE的长为______2.

答案： 解：设 $ AD = x $，则 $ DB = AB - AD = 5 - x $。
因为 $ CD \perp AB $，所以在 $ \text{Rt}\triangle ACD $ 和 $ \text{Rt}\triangle BCD $ 中，由勾股定理得：
$ CD^2 = AC^2 - AD^2 = 6^2 - x^2 $，
$ CD^2 = BC^2 - DB^2 = 4^2 - (5 - x)^2 $。
所以 $ 6^2 - x^2 = 4^2 - (5 - x)^2 $，
即 $ 36 - x^2 = 16 - (25 - 10x + x^2) $，
$ 36 - x^2 = 16 - 25 + 10x - x^2 $，
$ 36 = -9 + 10x $，
解得 $ x = 4.5 $，即 $ AD = 4.5 $。
因为 $ CE $ 是 $ AB $ 边上的中线，所以 $ AE = \frac{1}{2}AB = 2.5 $。
所以 $ DE = AD - AE = 4.5 - 2.5 = 2 $。
2