《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

3. (七中育才)下列二次根式中,是最简二次根式的是 (C)
A.$\sqrt{8}$
B.$\sqrt{\frac{a}{2}}$
C.$\sqrt{x^2 + y^2}$
D.$\sqrt{x^3}$

答案： 解：A. $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，不是最简二次根式；
B. $\sqrt{\frac{a}{2}}=\frac{\sqrt{2a}}{2}$，不是最简二次根式；
C. $\sqrt{x^2 + y^2}$，是最简二次根式；
D. $\sqrt{x^3}=x\sqrt{x}$，不是最简二次根式。
答案：C

4. (泡中)下列各式中,与$\sqrt{2}$是同类二次根式的是 (A)
A.$\sqrt{8}$
B.$\sqrt{9}$
C.$\sqrt{12}$
D.$\sqrt{27}$

答案： 解：同类二次根式是指化简后被开方数相同的二次根式。
- 选项A：$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$，被开方数是2，与$\sqrt{2}$的被开方数相同，是同类二次根式；
- 选项B：$\sqrt{9} = 3$，不是二次根式；
- 选项C：$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$，被开方数是3，与$\sqrt{2}$的被开方数不同，不是同类二次根式；
- 选项D：$\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$，被开方数是3，与$\sqrt{2}$的被开方数不同，不是同类二次根式。
答案：A

5. (成外)若最简二次根式$\frac{2}{3}\sqrt{3m^2 - 2}与\sqrt[n^2 - 1]{4m^2 - 10}$是同类二次根式,则$m$的值是______$±2\sqrt{2}$.

答案： 解：因为最简二次根式$\frac{2}{3}\sqrt{3m^2 - 2}$与$\sqrt[n^2 - 1]{4m^2 - 10}$是同类二次根式，所以根指数相同且被开方数相等。
根指数相同可得：$n^2 - 1 = 2$，解得$n^2 = 3$（$n$的值不影响$m$的求解，此处略）。
被开方数相等可得：$3m^2 - 2 = 4m^2 - 10$，
移项得：$4m^2 - 3m^2 = 10 - 2$，
即$m^2 = 8$，
解得$m = ±2\sqrt{2}$。
又因为二次根式有意义，所以$3m^2 - 2 ＞ 0$，$4m^2 - 10 ＞ 0$。
当$m = ±2\sqrt{2}$时，$3m^2 - 2 = 3×8 - 2 = 22 ＞ 0$，$4m^2 - 10 = 4×8 - 10 = 22 ＞ 0$，均满足条件。
故$m$的值是$±2\sqrt{2}$。
答案：$±2\sqrt{2}$

6. (石室联中)$\sqrt{12}与最简二次根式5\sqrt{a + 1}$是同类二次根式,则$a = $2.

答案： 解：$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$，因为$\sqrt{12}$与$5\sqrt{a + 1}$是同类二次根式，且$5\sqrt{a + 1}$是最简二次根式，所以$a + 1 = 3$，解得$a = 2$。
$2$

1. (天府新区期末)能与数轴上的点一一对应的是 (D)
A.整数
B.有理数
C.无理数
D.实数

答案： D

2. (武侯区期末)如图,数轴上有M,N,P,Q四点,则这四点中所表示的数最接近$-\sqrt {10}$的是 (B)
A.点M
B.点N
C.点P
D.点Q

答案： 解：
∵ $9 ＜ 10 ＜ 16$，
∴ $\sqrt{9} ＜ \sqrt{10} ＜ \sqrt{16}$，即 $3 ＜ \sqrt{10} ＜ 4$，
∴ $-4 ＜ -\sqrt{10} ＜ -3$。
由数轴知，点N表示的数在$-4$与$-3$之间，最接近$-\sqrt{10}$。
答案：B

3. (金牛区期末)如图, 数轴上点A表示的实数是$\sqrt{5}-1$.

答案： 解：由图可知，直角三角形的两直角边长分别为1和2，
根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$。
该斜边长度为从点-1到点A的距离，
因此点A表示的实数是$-1 + \sqrt{5} = \sqrt{5} - 1$。
$\sqrt{5}-1$

4. (成外)小明在数轴上先作出了一个边长为1的正方形,再用圆规画出了点A(如图所示),则点A所表示的数为$\sqrt{2} + 1$.

答案： 解：边长为1的正方形，其对角线长为$\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$。圆规以正方形对角线长为半径，以原点为圆心画弧，与数轴正半轴交于点A，故点A所表示的数为$\sqrt{2} + 1$。
$\sqrt{2} + 1$

5. (七中育才)如图,正方形ABCD的一边在以点D为原点的数轴上,以点A为圆心,以AC的长为半径画弧,且与数轴相交于点E,则点E所表示的实数是$1-\sqrt{2}$.

答案： 解：由图可知，正方形ABCD中，点D在原点，点A在数轴上表示1，
则AD=1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=1，∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，根据勾股定理得：
AC=$\sqrt{AD^2 + CD^2}=\sqrt{1^2 + 1^2}=\sqrt{2}$，
∵以点A为圆心，AC长为半径画弧交数轴于点E，
∴AE=AC=$\sqrt{2}$，
∵点A表示的数是1，点E在点A左侧，
∴点E表示的数是1 - $\sqrt{2}$。
$1-\sqrt{2}$

6. (西川)如图,数轴上点A所表示的数为1,点B,C,D是$4×4$的正方形网格上的格点,以点A为圆心,AD的长为半径画圆交数轴于M,N两点,则点M所表示的数为______.

$1 - \sqrt{10}$

答案： 解：由图可知，点A表示的数为1，点D在4×4正方形网格的格点上，且AD为圆的半径。通过网格计算AD的长度，点A到点D横向距离为1，纵向距离为3，根据勾股定理可得AD=$\sqrt{1^2 + 3^2}=\sqrt{10}$。
因为圆以点A为圆心，AD为半径，交数轴于M、N两点，点M在点A左侧，所以点M到点A的距离为AD的长度$\sqrt{10}$。
则点M所表示的数为$1 - \sqrt{10}$。
答案：$1 - \sqrt{10}$

7. (龙泉驿区期末)如图,数轴上表示$1,\sqrt {7}$的点分别为C,B,C是AB的中点,则点A表示的数是______.

$2 - \sqrt{7}$

答案： 设点A表示的数是$x$。
因为C是AB的中点，点C表示的数是1，点B表示的数是$\sqrt{7}$，
所以$\frac{x + \sqrt{7}}{2}=1$
解得$x=2-\sqrt{7}$
故点A表示的数是$2 - \sqrt{7}$。