《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

5.(锦江区期末)如图所示,在平面直角坐标系中,已知点$A(0,1),B(2,0),C(4,3)$.
(1)在平面直角坐标系中画出$\triangle ABC$,则$\triangle ABC$的面积是____;
(2)若点$D与点C$关于原点对称,则点$D$的坐标为____;
(3)已知$P为x$轴上一点,若$\triangle ABP的面积为4$,求点$P$的坐标.

答案：

(1)4 [解析]如图所示,$\triangle ABC$的面积是$3×4-\frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×2×3=4$。
(2)$(-4,-3)$ [解析]点$D$与点$C$关于原点对称,则点$D$的坐标为$(-4,-3)$。
(3)$\because P$为$x$轴上一点,$\triangle ABP$的面积为$4$,$\therefore BP=8$,$\therefore$点$P$的横坐标为$2+8=10$或$2-8=-6$,故点$P$的坐标为$(10,0)$或$(-6,0)$。

6.(青羊区期末)如图,在平面直角坐标系中,$\triangle ABC$的顶点都在网格点上,其中$A(-4,5)$,$B(-2,1),C(-1,3)$.
(1)作出$\triangle ABC关于y轴对称的\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$;
(2)写出$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$的各顶点的坐标;
(3)求$\triangle ABC$的面积.

答案：

(1)如图所示。
(2)$A_{1}(4,5)$,$B_{1}(2,1)$,$C_{1}(1,3)$。
(3)$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×(1+3)×4-\frac{1}{2}×2×1-\frac{1}{2}×2×3=8-1-3=4$。

7.(实外)如图,在平面直角坐标系中,已知点$A(a,0),B(b,0)$,其中$a,b满足|a+1|+(b-3)^{2}= 0$.
(1)填空:$a= $$-1$,$b= $$3$;
(2)如果在第三象限内有一点$M(-2,m)$,请用含$m的式子表示\triangle ABM$的面积;
$\because A(-1,0)$，$B(3,0)$，$\therefore AB=3 - (-1)=4$。点$M(-2,m)$在第三象限，$\therefore m＜0$，点$M$到$x$轴的距离为$-m$。$S_{\triangle ABM}=\frac{1}{2}× AB×(-m)=\frac{1}{2}×4×(-m)=-2m$
(3)在(2)的条件下,当$m= -\frac {3}{2}$时,在$y轴上有一点P$,使得$\triangle BMP的面积与\triangle ABM$的面积相等,请求出点$P$的坐标.
当$m=-\frac{3}{2}$时，$M(-2,-\frac{3}{2})$，$S_{\triangle ABM}=-2×(-\frac{3}{2})=3$。
①设$P(0,k)$在$y$轴正半轴，$S_{\triangle BMP}=\frac{1}{2}×|3 - 0|×|-\frac{3}{2}-k|+\frac{1}{2}×|0 - (-2)|×|k - (-\frac{3}{2})|-\frac{1}{2}×|3 - (-2)|×|-\frac{3}{2}|=\frac{5}{2}k+\frac{9}{4}=3$，解得$k=0.3$，$\therefore P(0,0.3)$
②设$P(0,n)$在$y$轴负半轴，$S_{\triangle BMP}=\frac{1}{2}×|3 - 0|×|n - (-\frac{3}{2})|+\frac{1}{2}×|0 - (-2)|×|-\frac{3}{2}-n|-\frac{1}{2}×|3 - (-2)|×|-\frac{3}{2}|=-\frac{5}{2}n-\frac{9}{4}=3$，解得$n=-2.1$，$\therefore P(0,-2.1)$
综上，$P(0,0.3)$或$(0,-2.1)$

答案：
(1)$-1$；$3$
(2)$\because A(-1,0)$，$B(3,0)$，$\therefore AB=3 - (-1)=4$。点$M(-2,m)$在第三象限，$\therefore m＜0$，点$M$到$x$轴的距离为$-m$。$S_{\triangle ABM}=\frac{1}{2}× AB×(-m)=\frac{1}{2}×4×(-m)=-2m$
(3)当$m=-\frac{3}{2}$时，$M(-2,-\frac{3}{2})$，$S_{\triangle ABM}=-2×(-\frac{3}{2})=3$。
①设$P(0,k)$在$y$轴正半轴，$S_{\triangle BMP}=\frac{1}{2}×|3 - 0|×|-\frac{3}{2}-k|+\frac{1}{2}×|0 - (-2)|×|k - (-\frac{3}{2})|-\frac{1}{2}×|3 - (-2)|×|-\frac{3}{2}|=\frac{5}{2}k+\frac{9}{4}=3$，解得$k=0.3$，$\therefore P(0,0.3)$
②设$P(0,n)$在$y$轴负半轴，$S_{\triangle BMP}=\frac{1}{2}×|3 - 0|×|n - (-\frac{3}{2})|+\frac{1}{2}×|0 - (-2)|×|-\frac{3}{2}-n|-\frac{1}{2}×|3 - (-2)|×|-\frac{3}{2}|=-\frac{5}{2}n-\frac{9}{4}=3$，解得$n=-2.1$，$\therefore P(0,-2.1)$
综上，$P(0,0.3)$或$(0,-2.1)$