《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

5.(金牛区期末)已知A,B两地相距120km,甲、乙两人分别从两地出发相向而行(甲从B地出发,乙从A地出发),甲先出发,途中加油休息一段时间,然后以原来的速度继续前进,两人离A地的距离y(km)与甲出发的时间x(h)之间的关系如图所示,请结合图象解答下列问题:
(1)甲行驶过程中的速度是60 km/h,途中休息的时间为0.5 h;
(2)求甲加油后y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)甲出发多少小时两人恰好相距10km?

(2)设甲加油后y与x之间的函数关系式为$y = kx + b$。将$(1.5,60)$和$(2.5,0)$代入$y = kx + b$，得$\left\{\begin{array}{l} 1.5k + b = 60,\\ 2.5k + b = 0,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} k = -60,\\ b = 150,\end{array}\right.$故甲加油后y与x之间的函数关系式为$y = -60x + 150(1.5 \leq x \leq 2.5)$。
(3)设乙离A地的距离$y_1$ (km)与出发时间x (h)之间的函数关系式为$y_1 = k_1x + b_1$。将$(1,0)$和$(4,120)$代入$y_1 = k_1x + b_1$，得$\left\{\begin{array}{l} k_1 + b_1 = 0,\\ 4k_1 + b_1 = 120,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} k_1 = 40,\\ b_1 = -40,\end{array}\right.$故$y_1 = 40x - 40$。
当$x = 1.5$时，$y_1 = 40 × 1.5 - 40 = 20$，此时两人相距$60 - 20 = 40$ (km)，故相距$10 \text{ km }$的时间段为$1.5 \text{ h } \sim 2.5 \text{ h }$之间。
依题意，得$|(-60x + 150) - (40x - 40)| = 10$，解得$x = 1.8$或$x = 2$，故甲出发$1.8 \text{ h }$或$2 \text{ h }$时两人恰好相距$10 \text{ km }$。

答案： 解:
(1)$ 60 \text{ km/h } $ $ 0.5 \text{ h } $ 【解析】根据图象可知，甲前 1 小时走了 $ 120 - 60 = 60 $ (km)，故甲的速度为 $ 60 \text{ km/h } $；甲走 $ 120 \text{ km } $ 需要 $ 2 \text{ h } $，而他到达终点的时间是 $ 2.5 \text{ h } $，故休息了 $ 0.5 \text{ h } $。
(2)设甲加油后 y 与 x 之间的函数关系式为 $ y = kx + b $。将 $(1.5,60)$ 和 $(2.5,0)$ 代入 $ y = kx + b $，得 $\left\{\begin{array}{l} 1.5k + b = 60,\\ 2.5k + b = 0,\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l} k = -60,\\ b = 150,\end{array}\right.$ 故甲加油后 y 与 x 之间的函数关系式为 $ y = -60x + 150(1.5 \leq x \leq 2.5) $。
(3)设乙离 A 地的距离 $ y_1 $ (km) 与出发时间 x (h) 之间的函数关系式为 $ y_1 = k_1x + b_1 $。将 $(1,0)$ 和 $(4,120)$ 代入 $ y_1 = k_1x + b_1 $，得 $\left\{\begin{array}{l} k_1 + b_1 = 0,\\ 4k_1 + b_1 = 120,\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l} k_1 = 40,\\ b_1 = -40,\end{array}\right.$ 故 $ y_1 = 40x - 40 $。
当 $ x = 1.5 $ 时，$ y_1 = 40 × 1.5 - 40 = 20 $，此时两人相距 $ 60 - 20 = 40 $ (km)，故相距 $ 10 \text{ km } $ 的时间段为 $ 1.5 \text{ h } \sim 2.5 \text{ h } $ 之间。
依题意，得 $ |(-60x + 150) - (40x - 40)| = 10 $，解得 $ x = 1.8 $ 或 $ x = 2 $，故甲出发 $ 1.8 \text{ h } $ 或 $ 2 \text{ h } $ 时两人恰好相距 $ 10 \text{ km } $。

6.(嘉祥)元旦,小王和小明都乘车从成都到重庆,成都、重庆两地相距约为300千米,小王先乘车从成都出发,小明坐动车先以80km/h的速度追赶小王.如图,线段OA表示小王离成都的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系,折线BCD表示小明离成都的距离y(km)与x(h)之间的函数关系.请根据图象解答下列问题:
(1)小明到达重庆后,小王距重庆还剩多少千米?
(2)求线段CD和OA对应的函数解析式;
(3)求小明从成都出发后多长时间与小王相遇.

答案： 解:
(1)由题意可得，小王的速度为 $ 300 ÷ 5 = 60 $ (km/h)，故小明到达重庆后，小王距重庆还剩 $ 60 × (5 - 4.5) = 30 $ (km)。
(2)设线段 CD 的函数解析式是 $ y = kx + b(2.5 \leq x \leq 4.5) $。
根据题意，得 $\left\{\begin{array}{l} 2.5k + b = 80,\\ 4.5k + b = 300,\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l} k = 110,\\ b = -195,\end{array}\right.$ 则线段 CD 的函数解析式是 $ y = 110x - 195(2.5 \leq x \leq 4.5) $。
设线段 OA 的函数解析式是 $ y = mx(0 \leq x \leq 5) $。
根据题意，得 $ 5m = 300 $，解得 $ m = 60 $，则线段 OA 的函数解析式是 $ y = 60x(0 \leq x \leq 5) $。
(3)根据题意，得 $ 110x - 195 = 60x $，解得 $ x = 3.9 $，则 $ 3.9 - (2.5 - 80 ÷ 80) = 2.4 $ (h)，即小明从成都出发 $ 2.4 \text{ h } $ 后与小王相遇。

7.(金牛区期末)上游A地与下游B地相距80km,一艘游船计划先从A地出发顺水航行到达B地,然后立即返回A地.已知航行过程中,水流速度和该船在静水中的速度都不变.如图是这艘游船离A地的距离y(km)与航行时间x(h)之间关系的图象.已知船顺水航行、逆水航行的速度分别是船在静水中的速度与水流速度的和与差.
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)一艘货船在A地下游24km处,货船与A地的游船同时前往B地,已知货船地静水中的速度为6km/h,经过多长时间,货船在前往B地的航行途中与游船相遇?

答案： 解:
(1)$\because$ 上游 A 地与下游 B 地相距 $ 80 \text{ km } $，$\therefore$ 当 $ x = 4 $ 时，$ y = 80 $。
①当 $ 0 \leq x \lt 4 $ 时，设 $ y = k_1x $，$\because$ 当 $ x = 4 $ 时，$ y = 80 $，$\therefore 4k_1 = 80 $，解得 $ k_1 = 20 $，$\therefore y = 20x $。
②当 $ 4 \leq x \leq 9 $ 时，设 $ y = k_2x + b $，$\because$ 当 $ x = 4 $ 时，$ y = 80 $，当 $ x = 9 $ 时，$ y = 0 $，$\therefore \left\{\begin{array}{l} 4k_2 + b = 80,\\ 9k_2 + b = 0,\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l} k_2 = -16,\\ b = 144,\end{array}\right.$ $\therefore y = -16x + 144 $。
综上所述，y 与 x 之间的函数表达式为 $ y = \left\{\begin{array}{l} 20x(0 \leq x \lt 4),\\ -16x + 144(4 \leq x \leq 9).\end{array}\right. $
(2)设游船在静水中的速度为 $ x \text{ km/h } $，水流速度为 $ y \text{ km/h } $。
根据题意，得 $\left\{\begin{array}{l} 4(x + y) = 80,\\ (9 - 4)(x - y) = 80,\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l} x = 18,\\ y = 2,\end{array}\right.$ $\therefore$ 游船在静水中的速度为 $ 18 \text{ km/h } $，水流速度为 $ 2 \text{ km/h } $，$\therefore$ 游船前往 B 地的航行速度为 $ 18 + 2 = 20 $ (km/h)，货船前往 B 地的航行速度为 $ 6 + 2 = 8 $ (km/h)。
设经过 t h 时，货船在前往 B 地的航行途中与游船相遇，当游船在前往 B 地之前时，则 $ 20t = 24 + 8t $，解得 $ t = 2 $。
当游船从 B 地返回 A 地时，$ 8(t - 4) + (18 - 2)(t - 4) = 80 - 24 - 8 × 4 $，解得 $ t = 5 $。
综上所述，经过 $ 2 \text{ h } $ 或 $ 5 \text{ h } $，货船在前往 B 地的航行途中与游船相遇。