《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

4. (树德实验)请阅读下列材料：
问题：如图 1,在等边 $\triangle ABC$ 内有一点 $P$,且 $PA = 2$,$PB = \sqrt{3}$,$PC = 1$,求 $\angle BPC$ 的度数和等边 $\triangle ABC$ 的边长。
李明同学的思路是：将 $\triangle BPC$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $60^{\circ}$,画出旋转后的图形 $\triangle BP'A$ (如图 2),连接 $PP'$,可得 $\triangle P'PB$ 是等边三角形,而 $\triangle PP'A$ 又是直角三角形 (由勾股定理的逆定理可证),所以 $\angle AP'B = 150^{\circ}$,而 $\angle BPC = \angle AP'B = 150^{\circ}$,进而求出等边 $\triangle ABC$ 的边长为 $\sqrt{7}$,问题得到解决。
请你参考李明同学的思路,探究并解决下列问题：如图 3,在正方形 $ABCD$ 内有一点 $P$,且 $PA = \sqrt{5}$,$BP = \sqrt{2}$,$PC = 1$,求 $\angle BPC$ 的度数和正方形 $ABCD$ 的边长。

答案：
解:如图,将 $\triangle BPC$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ 得 $\triangle BP'A$,则 $\triangle BPC \cong \triangle BP'A$,
∴$AP' = PC = 1$,$BP' = BP = \sqrt{2}$,$\angle ABP' = \angle CBP$,
∴$\angle P'BP = \angle ABP' + \angle ABP = \angle CBP + \angle ABP = 90^{\circ}$. 连接 $PP'$. 在 $Rt\triangle BP'P$ 中,
∵$BP = BP' = \sqrt{2}$,$\angle PBP' = 90^{\circ}$,
∴$PP' = 2$,$\angle BP'P = 45^{\circ}$. 在 $\triangle AP'P$ 中,$AP' = 1$,$PP' = 2$,$AP = \sqrt{5}$.
∵$1^{2} + 2^{2} = (\sqrt{5})^{2}$,即 $AP'^{2} + PP'^{2} = AP^{2}$,
∴$\triangle AP'P$ 是直角三角形,且 $\angle AP'P = 90^{\circ}$,
∴$\angle AP'B = 90^{\circ} + 45^{\circ} = 135^{\circ}$,
∴$\angle BPC = \angle AP'B = 135^{\circ}$,$\angle BP'E = 45^{\circ}$. 过点 $B$ 作 $BE \perp AP'$ 交 $AP'$ 的延长线于点 $E$,则 $\triangle BEP'$ 是等腰直角三角形,
∴$EP' = BE = 1$,
∴$AE = 2$. 在 $Rt\triangle ABE$ 中,由勾股定理,得 $AB = \sqrt{AE^{2} + BE^{2}} = \sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{5}$. 综上所述,$\angle BPC = 135^{\circ}$,正方形 $ABCD$ 的边长为 $\sqrt{5}$.