《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

1. (树德实验)如图,已知直线$y = 2x - 4交x轴于点A$,交$y轴于点B$,直线$y = - 3x + 3交x轴于点C$,交$y轴于点D$,且两直线交于点$E$。若$S_{\triangle ACE} = \frac{3}{5}$。
(1)求点$E$的坐标；
(2)求$S_{\triangle BDE}$。

答案： 1.解:
(1)由$\begin{cases}y = 2x - 4\\y = -3x + 3\end{cases}$解得$\begin{cases}x = \frac{7}{5}\\y = -\frac{6}{5}\end{cases}$
∴$E(\frac{7}{5},-\frac{6}{5})$.
(2)对于$y = 2x - 4$，当$x = 0$时，$y = 2×0 - 4 = -4$，
∴$B(0,-4)$；对于$y = -3x + 3$，当$x = 0$时，$y = -3×0 + 3 = 3$，
∴$D(0,3)$，
∴$BD = 7$，
∴$S_{\triangle BDE}=\frac{1}{2}×7×\frac{7}{5}=\frac{49}{10}$.

2. (东部新区期末)如图,一次函数的图象与正比例函数$y = - \frac{2}{3}x的图象交于点C( - 6,a)$,与$x轴的负半轴交于点A$,与$y轴的负半轴交于点B$,且$OB = 4$。
(1)求点$C$的坐标及一次函数的表达式；
(2)求$\triangle AOC$的面积；
(3)$H为直线AB$上一点,若$\triangle OBH的面积为\triangle AOC$面积的一半,求点$H$的坐标。

答案： 2.解:
(1)
∵点$C(-6,a)$在正比例函数$y = -\frac{2}{3}x$的图象上，
∴$a = -\frac{2}{3}×(-6)=4$，
∴$C(-6,4)$.
∵$OB = 4$，
∴$B(0,-4)$.
　设直线$BC$的解析式为$y = kx + b$，将点$B(0,-4)$，$C(-6,4)$代入，得$\begin{cases}-6k + b = 4\\0 + b = -4\end{cases}$
　解得$\begin{cases}k = -\frac{4}{3}\\b = -4\end{cases}$
∴一次函数的解析式为$y = -\frac{4}{3}x - 4$.
(2)对于一次函数$y = -\frac{4}{3}x - 4$，令$y = 0$，则$0 = -\frac{4}{3}x - 4$，解得$x = -3$，
∴$A(-3,0)$，
∴$AO = 3$，
∴$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}AO\cdot y_{C}=\frac{1}{2}×3×4 = 6$.
(3)
∵$\triangle OBH$的面积为$\triangle AOC$面积的一半，
∴$S_{\triangle OBH}=\frac{1}{2}S_{\triangle AOC}=3$.
∵$B(0,-4)$，
∴$OB = 4$，
∴$S_{\triangle OBH}=\frac{1}{2}OB\cdot|x_{H}| = 3$，
∴$x_{H}=\frac{3}{2}$或$x_{H}=-\frac{3}{2}$.
　又
∵点$H$在直线$AB$上，
∴点$H$的坐标为$(\frac{3}{2},-6)$或$(-\frac{3}{2},-2)$.

3. (金牛区期末)在平面直角坐标系$xOy$中,一次函数的图象经过点$A(4,1)与点B(0,5)$。
(1)求一次函数的表达式；
(2)若$P$为此一次函数图象上一点,且$S_{\triangle POB} = \frac{3}{2}S_{\triangle AOB}$,求点$P$的坐标。

答案：
3.解:
(1)设一次函数的表达式为$y = kx + b$，
　则$\begin{cases}1 = 4k + b\\5 = b\end{cases}$，
∴$\begin{cases}k = -1\\b = 5\end{cases}$，
∴一次函数的表达式为$y = -x + 5$.
(2)如图，设$P(m,-m + 5)$.
∵$S_{\triangle POB}=\frac{3}{2}S_{\triangle AOB}$，
∴$\frac{1}{2}OB×|m|=\frac{3}{2}×\frac{1}{2}×OB×|x_{A}|$，则$|m|=\frac{3}{2}×4$，
∴$m = ±6$，
∴点$P$的坐标为$(6,-1)$或$(-6,11)$.