《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

2. (金牛区期末)如图1,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$AB:y= 2x+b与x轴交于点A(-2,0)$,与$y轴交于点B$。
(1)求直线$AB$的表达式。
(2)若直线$CD:y= -\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}与x$轴、$y$轴、直线$AB分别交于点C$,$D$,$E$,求$\triangle BDE$的面积。
(3)如图2,在(2)的条件下,$F为线段AC$上一动点,将$\triangle EFC沿直线EF翻折得到\triangle EFN$,$EN交x

轴

于点M$。当$\triangle MNF$为直角三角形时,求点$N$的坐标。

答案：
2. 解:
(1)把点$A(-2,0)$代入$y = 2x + b$，得$-4 + b = 0$，$\therefore b = 4$，$\therefore$直线$AB:y = 2x + 4$。
(2)$\because$直线$AB:y = 2x + 4$，$\therefore$点$B$的坐标为$(0,4)$。
$\because$直线$CD:y = -\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$与$x$轴、$y$轴、直线$AB$分别交于点$C$，$D$，$E$。
当$x = 0$时，$y = \frac{3}{2}$；当$y = 0$时，$0 = -\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$，解得$x = 3$。
$\therefore C(3,0)$，$D(0,\frac{3}{2})$，$\therefore BD = 4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$。
联立$\begin{cases}y = 2x + 4\\y = -\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = -1\\y = 2\end{cases}$，$\therefore E(-1,2)$，$\therefore S_{\triangle BDE}=\frac{1}{2}BD\cdot|x_{E}|=\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×1=\frac{5}{4}$。
(3)如图$1$，当$\angle MFN = 90^{\circ}$时，过点$E$作$EH\perp x$轴于点$H$。
由翻折，得$\angle EFC = \angle EFN = \frac{1}{2}×(360^{\circ}-90^{\circ}) = 135^{\circ}$，$\therefore \angle EFO = 180^{\circ}-135^{\circ}=45^{\circ}$。
$\because E(-1,2)$，$\therefore EH = 2$，$OH = 1$，$\therefore FH = EH = 2$，$\therefore OF = FH - OH = 2 - 1 = 1$。
$\because C(3,0)$，$\therefore CF = OC - OF = 3 - 1 = 2$。
由翻折，得$FN = CF = 2$，$\therefore$点$N$的坐标为$(1,-2)$。
如图$2$，当$\angle FMN = 90^{\circ}$时，由翻折，得$EN = EC$。
$\because E(-1,2)$，$C(3,0)$，$\therefore EM = 2$，$EC = \sqrt{(3 + 1)^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{5}$，$\therefore EN = 2\sqrt{5}$，$\therefore MN = EN - EM = 2\sqrt{5}-2$，$\therefore$点$N$的坐标为$(-1,2 - 2\sqrt{5})$。
综上所述，点$N$的坐标为$(1,-2)$或$(-1,2 - 2\sqrt{5})$。