《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

4. (石室联中)如图1,直线y = $\frac{3}{4}x$和直线y = -$\frac{1}{2}x + b$相交于点A,直线y = -$\frac{1}{2}x + b$与x轴交于点C,点P在线段AC上,PD⊥x轴于点D,交直线y = $\frac{3}{4}x$于点Q. 已知点A的横坐标为4.
(1)点C的坐标为______。
(2)当QP = OA时,求点Q的坐标。
(3)如图2,在(2)的条件下,∠OQP的平分线QM交x轴于点M.
①求出点M的坐标；
②在线段QM上找一点N,使得△AON的周长最小,直接写出其周长的最小值：______。

答案：
解:
(1)当 $x = 4$ 时,$y = \frac{3}{4}x = 3$,即点 $A$ 的坐标为 $(4,3)$.将点 $A$ 的坐标代入 $y = -\frac{1}{2}x + b$,得 $3 = -2 + b$,解得 $b = 5$,故直线 $AC$ 的表达式为 $y = -\frac{1}{2}x + 5$,令 $y = 0$,解得 $x = 10$,故点 $C$ 的坐标为 $(10,0)$.
(2)
∵点 $A$ 的坐标为 $(4,3)$,
∴$OA = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5$.设 $P(n,-\frac{1}{2}n + 5)$,$Q(n,\frac{3}{4}n)$,
∴$PQ = \frac{3}{4}n - (-\frac{1}{2}n + 5) = \frac{5}{4}n - 5$.
∵$QP = OA$,
∴$\frac{5}{4}n - 5 = 5$,解得 $n = 8$,$Q(8,6)$.
(3)①如图,延长 $QM$ 交 $y$ 轴于点 $H$.
∵$QD// y$ 轴,
∴$\angle OHM = \angle MQD$.
∵$QM$ 平分 $\angle OQP$,
∴$\angle MQO = \angle MQD$,
∴$\angle MQO = \angle OHM$,
∴$OH = OQ = \sqrt{8^{2} + 6^{2}} = 10$,故点 $H(0,-10)$.由点 $H,Q$ 的坐标,得直线 $QH$ 的表达式为 $y = 2x - 10$.令 $y = 2x - 10 = 0$,解得 $x = 5$,故点 $M(5,0)$.
②$5 + \sqrt{65}$ 【解析】如图,作点 $A$ 关于直线 $HM$ 的对称点 $A'$.
∵$QM$ 是 $\angle OQD$ 的平分线,
∴点 $A'$ 在 $QD$ 上.连接 $A'O$ 交 $QM$ 于点 $N$,则 $AN = A'N$,此时 $\triangle AON$ 的周长最小,理由:$\triangle AON$ 的周长 $= AO + ON + AN = AO + ON + A'N = AO + A'O$ 最小.由点 $A,Q$ 的坐标知,$A$ 是 $QO$ 的中点,则 $AQ = AO = 5 = QA'$,则点 $A'(8,1)$,则 $\triangle AON$ 的周长的最小值 $= AO + A'O = 5 + \sqrt{8^{2} + 1} = 5 + \sqrt{65}$.

1. (西川)如图,当四边形 $ PABN $ 的周长最小时,$ a = $____。

答案：
$\frac{7}{4}$ [解析]如图，将点$N$向左平移$2$个单位长度与点$P$重合，点$B$向左平移$2$单位长度到点$B'(2,-1)$，作点$B'$关于$x$轴的对称点$B''$。根据作法知，点$B''(2,1)$。连接$AB''$交$x$轴于一点，当点$P$位于此点时四边形$PABN$的周长最小。设直线$AB''$的解析式为$y=kx+b$，则$\begin{cases}1 = 2k + b\\ -3 = k + b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 4\\ b = -7\end{cases}$，$\therefore y = 4x - 7$，当$y = 0$时，$x = \frac{7}{4}$，即$P(\frac{7}{4},0)$，$a = \frac{7}{4}$。

2. (嘉祥)如图,在平面直角坐标系中,长方形 $ OACB $ 的顶点 $ O $ 在坐标原点,顶点 $ A $,$ B $ 分别在 $ x $ 轴、$ y $ 轴的正半轴上,$ OA = 3 $,$ OB = 4 $,$ D $ 为边 $ OB $ 的中点。若 $ E $,$ F $ 为边 $ OA $ 上的两个动点,且 $ EF = 2 $,当四边形 $ CDEF $ 的周长最小时,点 $ F $ 的坐标为____。

答案：
$(\frac{7}{3},0)$ [解析]如图，作点$D$关于$x$轴的对称点$D'$，在$CB$边上截取$CG = 2$，连接$D'G$与$x$轴交于点$E$，在$EA$上截$EF = 2$。$\because GC// EF$，$GC = EF$，$\therefore$四边形$GEFC$为平行四边形，$\therefore GE = CF$。又$DC$，$EF$的长为定值，$\therefore$此时得到的点$E$，$F$使四边形$CDEF$的周长最小。由题可知，点$G(1,4)$，$D'(0,-2)$，$\therefore$直线$GD'$的解析式为$y = 6x - 2$。令$6x - 2 = 0$，解得$x = \frac{1}{3}$，$\therefore OE = \frac{1}{3}$，$\therefore OF = OE + EF = \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3}$，$\therefore$点$F$的坐标为$(\frac{7}{3},0)$。

3. (树德实验)如图,在等腰 $ \text{Rt} \triangle ABO $ 中,$ \angle OAB = 90^{\circ} $,$ A(4,4) $,$ C $ 为 $ AB $ 的中点,$ OD:BD = 1:3 $,$ P $ 为边 $ OA $ 上的动点,当点 $ P $ 在 $ OA $ 上移动时,四边形 $ PDBC $ 周长的最小值为____。

答案：
$12 + 2\sqrt{2}$ [解析] $\because \angle OAB = 90^{\circ}$，$A(4,4)$，$\therefore OB = 8$，$\angle AOB = 45^{\circ}$，$\therefore OA = AB = 4\sqrt{2}$。$\because C$为$AB$的中点，$OD:BD = 1:3$，$\therefore BC = \frac{1}{2}AB = 2\sqrt{2}$，$OD = 2$，$BD = 6$，$\therefore C(6,2)$。如图，作点$D$关于直线$OA$的对称点$E$，连接$EC$交$OA$于点$P$，则此时四边形$PDBC$的周长最小，$E(0,2)$，$\therefore CE// OB$，$\therefore CP$是$\triangle AOB$的中位线，$CE\perp y$轴，$\therefore PC = \frac{1}{2}OB = 4$，$PD = PE = 6 - 4 = 2$，$\therefore$四边形$PDBC$周长的最小值为$PC + PD + BD + BC = 4 + 2 + 6 + 2\sqrt{2} = 12 + 2\sqrt{2}$。