《2025年高效精练九年级数学上册苏科版》

22. 图1是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形。

(1) 如图2，$AE$是$\odot O$的直径，用直尺和圆规作$\odot O$的内接正八边形$ABCDEFGH$（不写作法，保留作图痕迹）；
(2) 在(1)的前提下，连接$OD$，已知$OA=5$，若扇形$OAD$（$\angle AOD＜180^{\circ}$）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于______$\frac{15}{8}$。

答案：
(1) 如图；
(2) $\frac{15}{8}$

23. (2023·宿迁)(1)如图，$AB$是$\odot O$的直径，$AC$与$\odot O$交于点$F$，弦$AD$平分$\angle BAC$，点$E$在$AC$上，连接$DE$，$DB$，______①。求证：______②；
从①$DE$与$\odot O$相切；②$DE\perp AC$中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程；
(2) 在(1)的前提下，若$AB=6$，$\angle BAD=30^{\circ}$，求阴影部分的面积。

答案：
(1) 若选择：①作为条件，②作为结论，如图，AB是$\odot O$的直径，AC与$\odot O$交于点F，弦AD平分$∠BAC$，点E在AC上，连接DE，DB，DE与$\odot O$相切，求证：$DE⊥AC$，证明：连接OD，
∵DE与$\odot O$相切于点D，
∴$∠ODE=90^{\circ}$。
∵AD平分$∠BAC$，
∴$∠EAD=∠DAB$。
∵OA=OD，
∴$∠DAB=∠ADO$，
∴$∠EAD=∠ADO$，
∴$AE// DO$，
∴$∠AED=180^{\circ}-∠ODE=90^{\circ}$，
∴$DE⊥AC$；若选择：②作为条件，①作为结论，如图，AB是$\odot O$的直径，AC与$\odot O$交于点F，弦AD平分$∠BAC$，点E在AC上，连接DE，DB，$DE⊥AC$，求证：DE与$\odot O$相切，证明：连接OD，
∵$DE⊥AC$，
∴$∠AED=90^{\circ}$，AD平分$∠BAC$，
∴$∠EAD=∠DAB$。
∵OA=OD，
∴$∠DAB=∠ADO$，
∴$∠EAD=∠ADO$，
∴$AE// DO$，
∴$∠ODE=180^{\circ}-∠AED=90^{\circ}$。
∵OD是$\odot O$的半径，
∴DE与$\odot O$相切；
(2) 连接OF，DF，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ADB=90^{\circ}$。
∵AB=6，$∠BAD=30^{\circ}$，
∴$BD=\frac{1}{2}AB=3$，$AD=\sqrt{3}BD=3\sqrt{3}$。
∵AD平分$∠BAC$，
∴$∠EAD=∠DAB=30^{\circ}$，在Rt$\triangle AED$中，$DE=\frac{1}{2}AD=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$AE=\sqrt{3}DE=\frac{9}{2}$。
∵$∠EAD=∠DAB=30^{\circ}$，
∴$∠DOB=2∠DAB=60^{\circ}$，$∠DOF=2∠EAD=60^{\circ}$。
∵OD=OF，
∴$\triangle DOF$是等边三角形，
∴$∠ODF=60^{\circ}$，
∴$∠DOB=∠ODF=60^{\circ}$，
∴$DF// AB$，
∴$\triangle ADF$的面积=$\triangle ODF$的面积，
∴阴影部分的面积=$\triangle AED$的面积-扇形DOF的面积=$\frac{1}{2}AE\cdot DE-\frac{60\pi\times3^{2}}{360}=\frac{1}{2}\times\frac{9}{2}\times\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3\pi}{2}=\frac{27\sqrt{3}}{8}-\frac{3\pi}{2}=\frac{27\sqrt{3}-12\pi}{8}$，
∴阴影部分的面积为$\frac{27\sqrt{3}-12\pi}{8}$。

24. (2024·广东)综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图1所示：① 一张直径为10 cm的圆形滤纸；② 一只漏斗口直径与母线均为7 cm的圆锥形过滤漏斗。

【实践操作】
步骤1：取一张滤纸；
步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中。
【实践探索】
(1) 滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明。
滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由如下，方法一：如图1作出示意图，由题意知，AB=AC=BC=7cm，折叠后$CD=CE=\frac{1}{2}×10=5(cm)$，∵底面周长=$\frac{1}{2}×10\pi=5\pi(cm)$，∴$DE\cdot\pi=5\pi cm$，∴DE=5cm，∴$\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{CB}$，∴$\triangle CDE\backsim\triangle CAB$，∴滤纸能紧贴此漏斗内壁。方法二：由$2\pi r=\frac{n\pi R}{180}$得，$\frac{n}{360}=\frac{r}{R}$图2中，$n_{1}=90^{\circ}×2=180^{\circ}$，图3中，$\frac{r}{R}=\frac{3.5}{7}=\frac{1}{2}$，∴$n_{2}=180^{\circ}$。∵$n_{1}=n_{2}$，∴滤纸能紧贴此漏斗内壁。
(2) 当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积。（结果保留$\pi$）
由(1)知CD=DE=CE=5cm，∴$∠CDE=60^{\circ}$，过C作$CF⊥DE$于点F，则$DF=\frac{1}{2}DE=\frac{5}{2}cm$，在Rt$\triangle CDF$中，$CF=\sqrt{CD^{2}-DF^{2}}=\frac{5\sqrt{3}}{2}cm$，∴$V=\pi\cdot(\frac{5}{2})^{2}×\frac{5\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{3}=\frac{125\sqrt{3}}{24}\pi(cm^{3})$。答：圆锥形的体积是$\frac{125\sqrt{3}}{24}\pi(cm^{3})$。

答案：
(1) 滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由如下，方法一：如图1作出示意图，由题意知，AB=AC=BC=7cm，折叠后$CD=CE=\frac{1}{2}\times10=5(cm)$，
∵底面周长=$\frac{1}{2}\times10\pi=5\pi(cm)$，
∴$DE\cdot\pi=5\pi cm$，
∴DE=5cm，
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{CB}$，
∴$\triangle CDE\backsim\triangle CAB$，
∴滤纸能紧贴此漏斗内壁。方法二：由$2\pi r=\frac{n\pi R}{180}$得，$\frac{n}{360}=\frac{r}{R}$图2中，$n_{1}=90^{\circ}\times2=180^{\circ}$，图3中，$\frac{r}{R}=\frac{3.5}{7}=\frac{1}{2}$，
∴$n_{2}=180^{\circ}$。
∵$n_{1}=n_{2}$，
∴滤纸能紧贴此漏斗内壁。
(2) 由
(1)知CD=DE=CE=5cm，
∴$∠CDE=60^{\circ}$，过C作$CF⊥DE$于点F，则$DF=\frac{1}{2}DE=\frac{5}{2}cm$，在Rt$\triangle CDF$中，$CF=\sqrt{CD^{2}-DF^{2}}=\frac{5\sqrt{3}}{2}cm$，
∴$V=\pi\cdot(\frac{5}{2})^{2}\times\frac{5\sqrt{3}}{2}\times\frac{1}{3}=\frac{125\sqrt{3}}{24}\pi(cm^{3})$。答：圆锥形的体积是$\frac{125\sqrt{3}}{24}\pi(cm^{3})$。