《2025年高效精练九年级数学上册苏科版》

14. 如图,在矩形ABCD中,已知$AB=3,BC=4$,点P是BC边上一动点(点P不与B,C重合),连接AP,作点B关于直线AP的对称点M,则线段MC的最小值为 (A)

A. 2
B. $\frac {5}{2}$
C. 3
D. $\sqrt {10}$

答案： A

15. 如图,直线l经过$\odot O$的圆心O,且与$\odot O$交于A,B两点,点C在$\odot O$上,且$∠AOC=30^{\circ },$点P是直线l上的一个动点(与圆心O不重合),直线CP与$\odot O$相交于另一点Q,如果$QP=QO$,求$∠OCP$的大小.

答案：
Ⅰ 根据题意,画出图1,在$△QOC$中,$OC=OQ$，$\therefore ∠OQC=∠OCQ$，在$△OPQ$中,$QP=QO$，$\therefore ∠QOP=∠QPO$，又$\because ∠QPO=∠OCQ+∠AOC$，$∠AOC=30^{\circ }$，$∠QOP+∠QPO+∠OQC=180^{\circ }$，$\therefore 3∠OCP=120^{\circ }$，$\therefore ∠OCP=40^{\circ }$. Ⅱ 当P在线段OA的延长线上(图2),$\because OC=OQ$，$\therefore ∠OQP=\frac {180^{\circ }-∠QOC}{2}$①，$\because OQ=PQ$，$\therefore ∠OPQ=\frac {180^{\circ }-∠OQP}{2}$②，在$△OQP$中,$30^{\circ }+∠QOC+∠OQP+∠OPQ=180^{\circ }$③，把①②代入③得$∠QOC=20^{\circ }$，则$∠OQP=80^{\circ }$，$\therefore ∠OCP=100^{\circ }$；Ⅲ 当P在线段OA的反向延长线上(图3),$\because OC=OQ$，$\therefore ∠OCP=∠OQC=\frac {180^{\circ }-∠COQ}{2}$①，$\because OQ=PQ$，$\therefore ∠OPC=\frac {180^{\circ }-∠OQP}{2}$②，$\because ∠AOC=30^{\circ }$，$\therefore ∠COQ+∠POQ=150^{\circ }$③，$\because ∠OPC=∠POQ$，$2∠OPC=∠OCP=∠OQC$④，①②③④联立得$∠OPC=10^{\circ }$，$\therefore ∠OCP=180^{\circ }-150^{\circ }-10^{\circ }=20^{\circ }$.