《2025年高效精练九年级数学上册苏科版》

13. 如图所示,已知圆锥底面半径 $r = 10cm$,母线长为 $40cm$.
(1) 求它的侧面展开图的圆心角和表面积.
(2) 若一甲虫从 $A$ 点出发沿着圆锥侧面行到母线 $SA$ 的中点 $B$,请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少? 为什么?

答案：

(1) $\frac{n\pi \times 40}{180} = 2\pi \times 10$，解得 $n = 90$。圆锥侧面展开图的表面积 $=\pi \times 10 \times 40 = 400\pi(cm^{2})$。
(2) 如图，由圆锥的侧面展开图可见，甲虫从 $A$ 点出发沿着圆锥侧面绕行到母线 $SA$ 的中点 $B$ 所走的最短路线是线段 $AB$ 的长。在 $Rt\triangle ASB$ 中，$SA = 40$，$SB = 20$，$\therefore AB = 20\sqrt{5}(cm)$。$\therefore$ 甲虫走的最短路线的长度是 $20\sqrt{5}cm$。

14. 某种冰激凌的外包装可以视为圆锥,它的底面圆直径 $ED$ 与母线 $AD$ 长之比为 $1:2$.制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料,其中 $AB = AC$,$AD\perp BC$.将扇形 $AEF$ 围成圆锥时,$AE$,$AF$ 恰好重合.
(1) 求这种加工材料的顶角 $\angle BAC$ 的大小.90°
(2) 若圆锥底面圆的直径 $ED$ 为 $5cm$,求加工材料剩余部分(图中阴影部分)的面积.(结果保留 $\pi$)$(100 - 25\pi)cm^{2}$

答案：
(1) 设 $\angle BAC = n^{\circ}$ ，由题意得 $\pi\cdot DE = \frac{n\pi\cdot AD}{180}$，$AD = 2DE$，$\therefore n = 90$，$\therefore \angle BAC = 90^{\circ}$。
(2) $\because AD = 2DE = 10(cm)$，$\therefore S_{阴}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AD - S_{扇形AEF}=\frac{1}{2} \times 20 \times 10 - \frac{90\pi\cdot 10^{2}}{360} = (100 - 25\pi)cm^{2}$。