《2025年高效精练九年级数学上册苏科版》

7. 已知 AB 是⊙O 的直径，弦 CD 与 AB 相交，∠BAC=38°．
(1) 如图 1，若 D 为$\overset{\frown}{AB}$的中点，求∠ABC 和∠ABD 的大小；∠ABC=52°，∠ABD=45°
(2) 如图 2，过点 D 作⊙O 的切线，与 AB 的延长线交于点 P，若 DP//AC，求∠OCD 的大小．∠OCD=26°

答案：
(1)
∵ AB 是⊙O 的直径，弦 CD 与 AB 相交，∠BAC = 38°，
∴ ∠ACB = 90°，
∴ ∠ABC = 90° - 38° = 52°.
∵ D 为$\overset{\frown}{AB}$的中点，∠AOB = 180°，
∴ ∠AOD = 90°，
∴ ∠ABD = 45°.
(2) 连接 OD，
∵ DP 切⊙O 于点 D，
∴ OD ⊥ DP，即 ∠ODP = 90°，由 DP // AC，又 ∠BAC = 38°，
∴ ∠P = ∠BAC = 38°.
∵ ∠AOD 是△ODP 的一个外角，
∴ ∠AOD = ∠P + ∠ODP = 128°，
∴ ∠ACD = 64°.
∵ OC = OA，∠BAC = 38°，
∴ ∠OCA = ∠BAC = 38°，
∴ ∠OCD = ∠ACD - ∠OCA = 64° - 38° = 26°.

8. (2023·滨州)如图，PA，PB 分别与⊙O 相切于 A，B 两点，且∠APB=56°，若点 C 是⊙O 上异于点 A，B 的一点，则∠ACB 的大小为62°或 118°．

答案： 62°或 118°

9. (2023·鄂州)如图，AB 为⊙O 的直径，E 为⊙O 上一点，点 C 为$\overset{\frown}{EB}$的中点，过点 C 作 CD⊥AE，交 AE 的延长线于点 D，延长 DC 交 AB 的延长线于点 F．
(1) 求证：CD 是⊙O 的切线；
(2) 若 DE=1，DC=2，求⊙O 的半径长．

答案：

(1) 如图，连接 OC，
∵ 点 C 为$\overset{\frown}{EB}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{EC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ ∠EAC = ∠BAC，
∵ OA = OC，
∴ ∠BAC = ∠OCA，
∴ ∠EAC = ∠OCA，
∴ AE // OC，
∴ ∠ADC = ∠OCF.
∵ CD ⊥ AE，
∴ ∠ADC = 90°，
∴ ∠OCF = 90°，即 OC ⊥ DF，又 OC 为⊙O 的半径，
∴ CD 是⊙O 的切线；
(2) 如图，连接 CE，BC，由
(1)知 CD 是⊙O 的切线，
∴ $CD^{2}=DE\cdot AD$.
∵ DE = 1，DC = 2，
∴ AD = 4，在 Rt△ADC 中，由勾股定理得 $AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=2\sqrt{5}$. 在 Rt△DCE 中，由勾股定理得 $CE=\sqrt{CD^{2}+DE^{2}}=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$.
∵ 点 C 是$\overset{\frown}{EB}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{EC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ $EC = BC = \sqrt{5}$，
∵ AB 为⊙O 的直径，
∴ ∠ACB = 90°，由勾股定理得 $AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{5})^{2}}=5$，
∴ ⊙O 的半径是 2.5.

10. (2024·凉山州)如图，⊙M 的圆心为 M(4，0)，半径为 2，P 是直线 y=x+4 上的一个动点，过点 P 作⊙M 的切线，切点为 Q，则 PQ 的最小值为______2√7．

答案： $2\sqrt{7}$

11. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，以 AB 为直径作⊙O，过点 C 作直线 CD 交 AB 的延长线于点 D，使∠BCD=∠A．
(1) 求证：CD 为⊙O 的切线；
(2) 若 DE 平分∠ADC，且分别交 AC，BC 于点 E，F，当 CE=2 时，求 EF 的长．

答案：

(1) 如图，连接 OC，
∵ AB 为⊙O 的直径，
∴ ∠ACB = 90°，即 ∠A + ∠ABC = 90°. 又
∵ OC = OB，
∴ ∠ABC = ∠OCB.
∵ ∠BCD = ∠A，
∴ ∠BCD + ∠OCB = 90°，即 ∠OCD = 90°.
∵ OC 是⊙O 的半径，
∴ CD 是⊙O 的切线；
(2)
∵ DE 平分 ∠ADC，
∴ ∠CDE = ∠ADE. 又
∵ ∠BCD = ∠A，
∴ ∠A + ∠ADE = ∠BCD + ∠CDF，即 ∠CEF = ∠CFE，
∵ ∠ACB = 90°，CE = 2，
∴ CE = CF = 2，
∴ $EF=\sqrt{CE^{2}+CF^{2}}=2\sqrt{2}$.