《2025年高效精练九年级数学上册苏科版》

24. 已知$x_{1},x_{2}$是一元二次方程$x^{2}-2x + k + 2 = 0$的两个实数根.
(1) 求$k$的取值范围.$k\leq-1$
(2) 是否存在实数$k$，使得等式$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}} = k - 2$成立？如果存在，请求出$k$的值；如果不存在，请说明理由.存在，$k=-\sqrt{6}$

答案：
(1) $\because$一元二次方程$x^{2}-2x + k + 2 = 0$有两个实数根，$\therefore\Delta=(-2)^{2}-4\times1\times(k + 2)\geq0$，解得：$k\leq-1$.
(2) $\because x_{1},x_{2}$是一元二次方程$x^{2}-2x + k + 2 = 0$的两个实数根，$\therefore x_{1}+x_{2}=2,x_{1}x_{2}=k + 2.\because\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=k - 2,\therefore\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{2}{k + 2}=k - 2,\therefore k^{2}-6 = 0$，解得：$k_{1}=-\sqrt{6},k_{2}=\sqrt{6}$. 又$\because k\leq-1,\therefore k=-\sqrt{6}.\therefore$存在这样的$k$值，使得等式$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=k - 2$成立，$k$值为$-\sqrt{6}$.

25. 阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程$(x^{2})^{2}-13x^{2}+36 = 0$，如果我们把$x^{2}$看作一个整体，然后设$y = x^{2}$，则原方程可化为$y^{2}-13y + 36 = 0$，经过运算，原方程的解为$x_{1,2}=\pm2$，$x_{3,4}=\pm3$.我们把以上这种解决问题的方法通常叫作换元法.
材料2
已知实数$m,n$满足$m^{2}-m - 1 = 0$，$n^{2}-n - 1 = 0$，且$m\neq n$，显然$m,n$是方程$x^{2}-x - 1 = 0$的两个不相等的实数根，由韦达定理可知$m + n = 1$，$mn = - 1$.
根据上述材料，解决以下问题.
(1) 直接应用：
方程$x^{4}-5x^{2}+6 = 0$的解为$x_{1}=\sqrt{2},x_{2}=-\sqrt{2},x_{3}=\sqrt{3},x_{4}=-\sqrt{3}$；
(2) 间接应用：
已知实数$a,b$满足：$2a^{4}-7a^{2}+1 = 0$，$2b^{4}-7b^{2}+1 = 0$且$a\neq b$，求$a^{4}+b^{4}$的值；
$\because a\neq b,\therefore a^{2}\neq b^{2}$或$a^{2}=b^{2}$，①当$a^{2}\neq b^{2}$时，令$a^{2}=m,b^{2}=n,\therefore m\neq n$，则$2m^{2}-7m + 1 = 0,2n^{2}-7n + 1 = 0,\therefore m,n$是方程$2x^{2}-7x + 1 = 0$的两个不相等的实数根，$\therefore\begin{cases}m + n=\frac{7}{2},\\mn=\frac{1}{2},\end{cases}$此时$a^{4}+b^{4}=m^{2}+n^{2}=(m + n)^{2}-2mn=\frac{45}{4}$. ②当$a^{2}=b^{2}(a=-b)$时，$a^{2}=b^{2}=\frac{7\pm\sqrt{41}}{4}$，此时$a^{4}+b^{4}=2a^{4}=2(a^{2})^{2}=\frac{45\pm7\sqrt{41}}{4}$，综上所述，$a^{4}+b^{4}=\frac{45}{4}$或$\frac{45\pm7\sqrt{41}}{4}$
(3) 拓展应用：
已知实数$m,n$满足：$\frac{1}{m^{4}}+\frac{1}{m^{2}} = 7$，$n^{2}-n = 7$且$n\gt0$，求$\frac{1}{m^{4}}+n^{2}$的值.
令$\frac{1}{m^{2}}=a,-n = b$，则$a^{2}+a - 7 = 0,b^{2}+b - 7 = 0,\because n\gt0,\therefore\frac{1}{m^{2}}\neq - n$，即$a\neq b,\therefore a,b$是方程$x^{2}+x - 7 = 0$的两个不相等的实数根，$\therefore\begin{cases}a + b=-1,\\ab=-7,\end{cases}$故$\frac{1}{m^{4}}+n^{2}=a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab=15$

答案：
(1) $x_{1}=\sqrt{2},x_{2}=-\sqrt{2},x_{3}=\sqrt{3},x_{4}=-\sqrt{3}$
(2) $\because a\neq b,\therefore a^{2}\neq b^{2}$或$a^{2}=b^{2}$，①当$a^{2}\neq b^{2}$时，令$a^{2}=m,b^{2}=n,\therefore m\neq n$，则$2m^{2}-7m + 1 = 0,2n^{2}-7n + 1 = 0,\therefore m,n$是方程$2x^{2}-7x + 1 = 0$的两个不相等的实数根，$\therefore\begin{cases}m + n=\frac{7}{2},\\mn=\frac{1}{2},\end{cases}$此时$a^{4}+b^{4}=m^{2}+n^{2}=(m + n)^{2}-2mn=\frac{45}{4}$. ②当$a^{2}=b^{2}(a=-b)$时，$a^{2}=b^{2}=\frac{7\pm\sqrt{41}}{4}$，此时$a^{4}+b^{4}=2a^{4}=2(a^{2})^{2}=\frac{45\pm7\sqrt{41}}{4}$，综上所述，$a^{4}+b^{4}=\frac{45}{4}$或$\frac{45\pm7\sqrt{41}}{4}$；
(3) 令$\frac{1}{m^{2}}=a,-n = b$，则$a^{2}+a - 7 = 0,b^{2}+b - 7 = 0,\because n\gt0,\therefore\frac{1}{m^{2}}\neq - n$，即$a\neq b,\therefore a,b$是方程$x^{2}+x - 7 = 0$的两个不相等的实数根，$\therefore\begin{cases}a + b=-1,\\ab=-7,\end{cases}$故$\frac{1}{m^{4}}+n^{2}=a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab=15$.