《2025年高效精练九年级数学上册苏科版》

9. 如图,直线$l_{1}$与$l_{2}$垂直,垂足为点 O,$AM⊥l_{1}$于点 M,$AN⊥l_{2}$于点 N,$AM=4,AN=3$,以点 A 为圆心,r 为半径作$\odot A$,根据下列条件,确定 r 的取值范围:
(1) 若$\odot A$与两直线无公共点,则 r 的取值范围为$0 ＜ r ＜ 3$;
(2) 若$\odot A$与两直线共有一个公共点,则 r 的取值范围为$r = 3$;
(3) 若$\odot A$与两直线共有两个公共点,则 r 的取值范围为$3 ＜ r ＜ 4$;
(4) 若$\odot A$与两直线共有三个公共点,则 r 的取值范围为$r = 4$ 或 $r = 5$;
(5) 若$\odot A$与两直线共有四个公共点,则 r 的取值范围为$r ＞ 4$ 且 $r \neq 5$.

答案：
(1) $0 ＜ r ＜ 3$
(2) $r = 3$
(3) $3 ＜ r ＜ 4$
(4) $r = 4$ 或 $r = 5$
(5) $r ＞ 4$ 且 $r \neq 5$

10. 如图,给定一个半径长为 2 的圆,圆心 O 到水平直线 l 的距离为 d,即$OM=d$.我们把圆上到直线 l 的距离等于 1 的点的个数记为 m. 如$d=0$时,l 为经过圆心 O 的一条直线,此时圆上有四个到直线 l 的距离等于 1 的点,即$m=4$,由此可知:
(1) 当$d=3$时,$m=$1;
(2) 当$m=2$时,d 的取值范围是$1 ＜ d ＜ 3$.

答案：
(1) 1
(2) $1 ＜ d ＜ 3$

11. 在$Rt△ABC$中,$∠C=90^{\circ },AC=3cm,BC=4cm$,以点 C 为圆心的圆的半径为 r,试求 r 满足什么条件时,$\odot C$与线段 AB:
(1) 没有公共点;$0 ＜ r ＜ 2.4$ 或 $r ＞ 4$
(2) 只有一个公共点;$3 ＜ r \leq 4$ 或 $r = 2.4$
(3) 有两个公共点.$2.4 ＜ r \leq 3$

答案：
(1) $0 ＜ r ＜ 2.4$ 或 $r ＞ 4$
(2) $3 ＜ r \leq 4$ 或 $r = 2.4$
(3) $2.4 ＜ r \leq 3$

12. 如图,在矩形 ABCD 中,$AB=4,BC=6$.点 E 为 CD 边上的一个动点(不与 C,D 重合),$\odot O$是$△BCE$的外接圆.
(1) 若$CE=2,\odot O$交 AD 于点 F,G,求 FG 的长度.
(2) 若 CE 的长度为 m,$\odot O$与 AD 的位置关系随着 m 的值变化而变化,试探索 AD 与$\odot O$的位置关系及对应的 m 的取值范围.

答案：

(1) 如图 1，过点 $O$ 作 $OM \perp FG$ 于点 $M$，延长 $MO$ 交 $BC$ 于点 $N$，连接 $OG$，
∵ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴ $\angle C = \angle D = 90^{\circ}$，
∴ $BE$ 是 $\odot O$ 的直径.
∵ $\angle C = \angle D = \angle DMN = 90^{\circ}$，
∴ 四边形 $MNCD$ 是矩形，
∴ $MN \perp BC$，$MN = CD = AB = 4$，
∴ $BN = CN$.
∵ $OB = OE$，
∴ $ON$ 是 $\triangle BCE$ 的中位线，
∴ $ON = \frac{1}{2}CE = 1$，
∴ $OM = 4 - 1 = 3$，在 $Rt\triangle BCE$ 中，$BE = \sqrt{BC^{2} + CE^{2}} = 2\sqrt{10}$，
∴ $OG = \frac{1}{2}BE = \sqrt{10}$，在 $Rt\triangle OMG$ 中，$MG = \sqrt{OG^{2} - OM^{2}} = 1$，
∴ $FG = 2MG = 2$.
(2) 如图 2 中，当 $\odot O$ 与 $AD$ 相切于点 $M$ 时，连接 $OM$ 并反向延长交 $BC$ 于点 $N$. 由
(1)易得 $ON = \frac{1}{2}CE = \frac{1}{2}m$，$OB = OM = 4 - \frac{1}{2}m$，$BN = 3$，在 $Rt\triangle BON$ 中，$ON^{2} + BN^{2} = OB^{2}$，即 $(\frac{1}{2}m)^{2} + 3^{2} = (4 - \frac{1}{2}m)^{2}$，解得 $m = \frac{7}{4}$，
∴ 当 $0 ＜ m ＜ \frac{7}{4}$ 时，$\odot O$ 与 $AD$ 相离；当 $m = \frac{7}{4}$ 时，$\odot O$ 与 $AD$ 相切；当 $\frac{7}{4} ＜ m ＜ 4$ 时，$\odot O$ 与 $AD$ 相交.