《2025年高效精练九年级数学上册苏科版》

13. (2023·福建)为促进消费,助力经济发展,某商场决定“让利酬宾”,于“五一”期间举办了抽奖促销活动.活动规定:凡在商场消费一定金额的顾客,均可获得一次抽奖机会.抽奖方案如下:从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中,随机摸出1个球,若摸得红球,则中奖,可获得奖品;若摸得黄球,则不中奖.同时,还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中,并再往袋中加入1个红球或黄球(它们的大小质地与袋中的4个球完全相同),然后从中随机摸出1个球,记下颜色后不放回,再从中随机摸出1个球,若摸得的两球的颜色相同,则该顾客可获得精美礼品一份.现已知某顾客获得抽奖机会.
(1)求该顾客首次摸球中奖的概率;
(2)假如该顾客首次摸球未中奖,为了有更大机会获得精美礼品,他应往袋中加入哪种颜色的球? 说明你的理由.

答案： （1）顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果，记“首次摸得红球”为事件A，则事件A发生的结果只有1种，
∴$P(A)=\frac{1}{4}$，
∴顾客首次摸球中奖的概率为$\frac{1}{4}$；（2）他应往袋中加入黄球；理由如下：记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下:
| | 红 | 黄① | 黄② | 黄③ | 新 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 红 | | 红,黄① | 红,黄② | 红,黄③ | 红,新 |
| 黄① | 黄①,红 | | 黄①,黄② | 黄①,黄③ | 黄①,新 |
| 黄② | 黄②,红 | 黄②,黄① | | 黄②,黄③ | 黄②,新 |
| 黄③ | 黄③,红 | 黄③,黄① | 黄③,黄② | | 黄③,新 |
| 新 | 新,红 | 新,黄① | 新,黄② | 新,黄③ | |
共有20种等可能结果，（i）若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有8种，此时该顾客获得精美礼品的概率$P_1=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$；（ii）若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有12种，此时该顾客获得精美礼品的概率$P_2=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$；
∵$\frac{2}{5}＜\frac{3}{5}$，
∴$P_1＜P_2$，
∴他应往袋中加入黄球。

14. 由于疫情爆发,小敏家所在的小区被管控,规定每两日每户可派一人出小区购买生活必需品.为增添生活乐趣,小敏制作了4张相同的卡片,在上面分别写上数字0,1,-2,3,将卡片的背面朝上,洗匀后从中任意抽取1张,将卡片上的数字记录下来;再从余下的3张卡片中任意抽取1张,同样将卡片上的数字记录下来.
(1)第一次抽取的卡片上数字是非负数的概率为$\frac{3}{4}$;
(2)小敏设计了如下游戏规则:当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时,爸爸出小区购买生活必需品;否则,妈妈去.请用画树状图或列表的方法,求这个游戏对双方是否公平.
列表如下:
| | 0 | 1 | $-2$ | 3 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | | 1 | $-2$ | 3 |
| 1 | $-1$ | | $-3$ | 2 |
| $-2$ | 2 | 3 | | 5 |
| 3 | $-3$ | $-2$ | $-5$ | |
由表可知，共有12种等可能结果，其中结果为非负数的有6种结果，结果为负数的有6种结果，∴妈妈获胜的概率=爸爸获胜的概率$=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，∴这个游戏对双方是公平的。

答案： （1）$\frac{3}{4}$（2）列表如下:
| | 0 | 1 | $-2$ | 3 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | | 1 | $-2$ | 3 |
| 1 | $-1$ | | $-3$ | 2 |
| $-2$ | 2 | 3 | | 5 |
| 3 | $-3$ | $-2$ | $-5$ | |
由表可知，共有12种等可能结果，其中结果为非负数的有6种结果，结果为负数的有6种结果，
∴妈妈获胜的概率=爸爸获胜的概率$=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，
∴这个游戏对双方是公平的。