《2025年高效精练九年级数学上册苏科版》

14. 已知 $ \odot O $ 的半径和正方形 $ A B C D $ 的边长均为 1,把正方形 $ A B C D $ 放在 $ \odot O $ 中,使顶点 $ A $, $ D $ 落在 $ \odot O $ 上,此时点 $ A $ 的位置记为 $ A _ { 0 } $,如图 1. 按下列步骤操作:
如图 2,将正方形 $ A B C D $ 在 $ \odot O $ 中绕点 $ A $ 顺时针旋转,使点 $ B $ 落到 $ \odot O $ 上,完成第一次旋转;绕点 $ B $ 顺时针旋转,使点 $ C $ 落到 $ \odot O $ 上,完成第二次旋转;…
(1) 正方形 $ A B C D $ 每次旋转的度数为30$ ^ { \circ } $;
(2) 将正方形 $ A B C D $ 连续旋转 6 次,在旋转的过程中,求点 $ B $ 与 $ A _ { 0 } $ 之间的距离的最小值.

如图, 当点 $B$ 绕着点 $D$ 旋转时, 点 $B$, 点 $A$, 点 $D$ 三点共线时, 点 $B$ 与 $A_{0}$ 之间的距离有最小值, ∵ 当点 $D$ 落在 $⊙O$ 上时, 点 $D^{\prime}$ 在 $AO$ 的延长线上, ∴ $AD^{\prime} = 2$, 点 $B$, 点 $A$, 点 $D$ 三点共线时, 点 $B$ 与 $A_{0}$ 之间的距离有最小值, ∴ 点 $B$ 与 $A_{0}$ 之间的距离的最小值为 $2 - \sqrt{2}$.

答案：
(1) 30
(2) 如图, 当点 $B$ 绕着点 $D$ 旋转时, 点 $B$, 点 $A$, 点 $D$ 三点共线时, 点 $B$ 与 $A_{0}$ 之间的距离有最小值,
∵ 当点 $D$ 落在 $⊙O$ 上时, 点 $D^{\prime}$ 在 $AO$ 的延长线上,
∴ $AD^{\prime} = 2$, 点 $B$, 点 $A$, 点 $D$ 三点共线时, 点 $B$ 与 $A_{0}$ 之间的距离有最小值,
∴ 点 $B$ 与 $A_{0}$ 之间的距离的最小值为 $2 - \sqrt{2}$.