《2025年高效精练九年级数学上册苏科版》

11. (2023·娄底)若 $ m $ 是方程 $ x^{2}-2x-1=0 $ 的根,则 $ m^{2}+\frac{1}{m^{2}}= $______6.

答案： 6

12. 根据下列问题,列出一元二次方程,并将其化成一般形式.
(1) 一个微信群里共有 $ x $ 个好友,每个好友都分别给群里其他好友发送一条消息,这样共有756条消息;
(2) 如果一个直角三角形的两条直角边长之和为 14 cm,面积为 $ 24 \mathrm{cm}^{2} $,求它的两条直角边的长.

答案：
(1) 依题意得 $ x(x - 1) = 756 $，$ x^{2}-x - 756 = 0 $；
(2) 设其中一条直角边的长为 $ x $ cm，则另一条直角边为 $ (14 - x) $ cm，根据题意得：$ \frac{1}{2}x(14 - x) = 24 $，整理得：$ x^{2}-14x + 48 = 0 $。

13. 已知 $ a $ 是方程 $ x^{2}-2024x+1=0 $ 一个根,则 $ a^{2}-2023a+\frac{2024}{a^{2}+1} $ 的值为______2023.

答案： 2023

14. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (a-1)x^{2}+x+|a|-1=0 $ 的一个根是 0,则实数 $ a $ 的值为-1.

答案： -1

15. 已知 $ m $ 为方程 $ x^{2}+3x-2022=0 $ 的根,那么 $ m^{3}+2m^{2}-2025m+2022 $ 的值为 (B)
A. -2022
B. 0
C. 2022
D. 4044

答案： B

16. 已知关于 $ x $ 的方程 $ (m^{2}-9)x^{2}+(m+3)x-5=0 $.
(1) 当 $ m $ 为何值时,此方程是一元一次方程? 并求出此时方程的解.
(2) 当 $ m $ 为何值时,此方程是一元二次方程? 并写出这个方程的二次项系数、一次项系数及常数项.

答案：
(1) 根据一元一次方程的定义可知：$ m^{2}-9 = 0 $，$ m + 3 \neq 0 $，解得：$ m = 3 $，此时化简方程为：$ 6x - 5 = 0 $，解得：$ x = \frac{5}{6} $；
(2) 根据一元二次方程的定义可知：$ m^{2}-9 \neq 0 $，解得：$ m \neq \pm 3 $。该方程的二次项系数为：$ m^{2}-9 $；一次项系数为：$ m + 3 $；常数项为：-5。

17. 若 $ x_{0} $ 是方程 $ a x^{2}+2 x+c=0(a \neq 0) $ 的一个根,设 $ M=1-a c, N=\left(a x_{0}+1\right)^{2} $,试比较 $ M $ 与 $ N $ 的大小.
$\because x_{0}$是方程$ax^{2}+2x + c = 0(a \neq 0)$的一个根，$\therefore ax_{0}^{2}+2x_{0}+c = 0$，即$ax_{0}^{2}+2x_{0}=-c$，则$N - M=(ax_{0}+1)^{2}-(1 - ac)=a^{2}x_{0}^{2}+2ax_{0}+1 - 1 + ac=a(ax_{0}^{2}+2x_{0})+ac=-ac + ac=0$，$\therefore M = N$。

答案： $ \because x_{0} $ 是方程 $ ax^{2}+2x + c = 0(a \neq 0) $ 的一个根，$ \therefore ax_{0}^{2}+2x_{0}+c = 0 $，即 $ ax_{0}^{2}+2x_{0} = -c $，则 $ N - M = (ax_{0}+1)^{2}-(1 - ac) = a^{2}x_{0}^{2}+2ax_{0}+1 - 1 + ac = a(ax_{0}^{2}+2x_{0}) + ac = -ac + ac = 0 $，$ \therefore M = N $。