《2025年高效精练九年级数学上册苏科版》

1. 每个外角都是 $ 18^{\circ} $ 的正多边形的对称轴有 (C)
A. 24 条
B. 12 条
C. 20 条
D. 10 条

答案： C

2. (2023·福建)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少. 割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”. “割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率 $ \pi $ 的近似值为 3.141 6. 如图，$ \odot O $ 的半径为 1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计 $ \odot O $ 的面积，可得 $ \pi $ 的估计值为 $ \frac{3 \sqrt{3}}{2} $，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得 $ \pi $ 的估计值为 (C)

A. $ \sqrt{3} $
B. $ 2 \sqrt{2} $
C. 3
D. $ 2 \sqrt{3} $

答案： C

3. 在下图中，用尺规或量角器分别作 $\odot O$ 的内接正六边形、正四边形和正三角形.

作$\odot O$的内接正六边形：用圆规以$O$为圆心，任意长为半径画圆$\odot O$，保持圆规半径不变，在圆上依次截取等弧，连接各分点；作$\odot O$的内接正四边形：作直径$AB$，过$O$作$AB$的垂线交圆于$C$、$D$，连接$A$、$B$、$C$、$D$（或用量角器量$90^{\circ}$圆心角截取弧连接分点）；作$\odot O$的内接正三角形：作直径$AB$，以$B$为圆心、$OB$为半径画弧交圆于$C$、$D$，连接$A$、$C$、$D$（或用量角器量$120^{\circ}$圆心角截取弧连接分点）

答案： 【解析】：
- **作$\odot O$的内接正六边形**：
用圆规以$O$为圆心，任意长为半径画圆$\odot O$。
保持圆规半径不变，在圆上依次截取等弧，因为圆的圆心角为$360^{\circ}$，正六边形的中心角$\angle AOB=\frac{360^{\circ}}{6} = 60^{\circ}$，以圆的半径为弦长，在圆上顺次截取六段弧，连接各分点，就得到$\odot O$的内接正六边形。
**作$\odot O$的内接正四边形**：
方法一（尺规作图）：
作圆$\odot O$的一条直径$AB$。
过圆心$O$作直径$AB$的垂线，交圆于$C$、$D$两点。
连接$A$、$B$、$C$、$D$四点，四边形$ABCD$就是$\odot O$的内接正四边形。因为$AB\perp CD$，$OA = OB=OC = OD$，$\angle AOB=\angle BOC=\angle COD=\angle DOA = 90^{\circ}$，中心角为$90^{\circ}$，$\frac{360^{\circ}}{4}=90^{\circ}$。
方法二（量角器作图）：
用量角器在圆上量出$90^{\circ}$的圆心角，依次截取四段弧，连接各分点得到正四边形。
**作$\odot O$的内接正三角形**：
方法一（尺规作图）：
作圆$\odot O$的一条直径$AB$。
以$B$为圆心，$OB$长为半径画弧，交圆$\odot O$于$C$、$D$两点。
连接$A$、$C$、$D$三点，$\triangle ACD$就是$\odot O$的内接正三角形。因为$AB$是直径，$BC = OB=OC$，$\angle AOC = 120^{\circ}$，正三角形中心角$\frac{360^{\circ}}{3}=120^{\circ}$。
方法二（量角器作图）：
用量角器在圆上量出$120^{\circ}$的圆心角，依次截取三段弧，连接各分点得到正三角形。
【答案】：按照上述尺规作图或量角器作图方法可分别作出$\odot O$的内接正六边形、正四边形和正三角形。

4. 如图 1，2，3，…，n 分别是 $ \odot O $ 的内接正三角形 $ ABC $，正四边形 $ ABCD $，正五边形 $ ABCDE $，…，正 n 边形 $ ABC \cdots $，点 $ M $，$ N $ 分别从点 $ B $，$ C $ 开始以相同的速度在 $ \odot O $ 上逆时针运动. 求：
(1) 在图 1 中 $ \angle APN $ 的度数是______60°；
(2) 在图 2 中，$ \angle APN $ 的度数是______90°，图 3 中 $ \angle APN $ 的度数是______108°；
(3) 试探索 $ \angle APN $ 的度数与正多边形边数 n 的关系(直接写答案).
∠APN = $\frac{(n - 2) \cdot 180°}{n}$

答案：
(1) 60°
(2) 90° 108°
(3) ∠APN = $\frac{(n - 2) \cdot 180°}{n}$

5. (2023·河北)如图，点 $ P_{1} \sim P_{8} $ 是 $ \odot O $ 的八等分点. 若 $ \triangle P_{1} P_{3} P_{7} $，四边形 $ P_{3} P_{4} P_{6} P_{7} $ 的周长分别为 $ a $，$ b $，则下列正确的是 (A)

A. $ a ＜ b $
B. $ a = b $
C. $ a ＞ b $
D. $ a $，$ b $ 大小无法比较

答案： A